Rezolvați t^2+3t/2=t+7/4

$$\frac { t ^ { 2 } + 3 t } { 2 } = \frac { t + 7 } { 4 }$$

Rezolvați pentru t

$$t = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$t=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4, cel mai mic multiplu comun al 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Scădeți t din ambele părți.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Combinați 6t cu -t pentru a obține 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Scădeți 7 din ambele părți.

$$2t^{2}+5t-7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2t^{2}+at+bt-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -14.

$$-1,14 -2,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-2 b=7$$

Rescrieți 2t^{2}+5t-7 ca \left(2t^{2}-2t\right)+\left(7t-7\right).

$$\left(2t^{2}-2t\right)+\left(7t-7\right)$$

Factor 2t în primul și 7 în al doilea grup.

$$2t\left(t-1\right)+7\left(t-1\right)$$

Scoateți termenul comun t-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-1\right)\left(2t+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-1=0 și 2t+7=0.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4, cel mai mic multiplu comun al 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Scădeți t din ambele părți.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Combinați 6t cu -t pentru a obține 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Scădeți 7 din ambele părți.

$$2t^{2}+5t-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 5 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -7.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 56.

$$t=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$t=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$t=\frac{-5±9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-5±9}{4} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 9.

$$t=\frac{4}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$t=1$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-5±9}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din -5.

$$t=-\frac{14}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$t=-\frac{7}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4, cel mai mic multiplu comun al 2,4.

$$2\left(t^{2}+3t\right)=t+7$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu t^{2}+3t.

$$2t^{2}+6t=t+7$$

Scădeți t din ambele părți.

$$2t^{2}+6t-t=7$$

Combinați 6t cu -t pentru a obține 5t.

$$2t^{2}+5t=7$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2t^{2}+5t}{2}=\frac{7}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t=\frac{7}{2}$$

Împărțiți \frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați \frac{7}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Factor t^{2}+\frac{5}{2}t+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplificați.

$$t+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} t+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Scădeți \frac{5}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$t=1 t=-\frac{7}{2}$$