Rezolvați p+5/p^2+p=1/p^2+p-p-6/p+1

$$\frac { p + 5 } { p ^ { 2 } + p } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + p } - \frac { p - 6 } { p + 1 }$$

Rezolvați pentru p

$$p=1$$

$$p=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila p nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu p\left(p+1\right), cel mai mic multiplu comun al p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p cu p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Pentru a găsi opusul lui p^{2}-6p, găsiți opusul fiecărui termen.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Scădeți 1 din 5 pentru a obține 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Adăugați p^{2} la ambele părți.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Scădeți 6p din ambele părți.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Combinați p cu -6p pentru a obține -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori p^{2}-5p+4 utilizând formula p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=4$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 4 de produs.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-4 b=-1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(p+a\right)\left(p+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați p-4=0 și p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila p nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu p\left(p+1\right), cel mai mic multiplu comun al p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p cu p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Pentru a găsi opusul lui p^{2}-6p, găsiți opusul fiecărui termen.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Scădeți 1 din 5 pentru a obține 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Adăugați p^{2} la ambele părți.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Scădeți 6p din ambele părți.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Combinați p cu -6p pentru a obține -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca p^{2}+ap+bp+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 4 de produs.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-4 b=-1$$

Rescrieți p^{2}-5p+4 ca \left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right).

$$\left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right)$$

Scoateți scoateți factorul p din primul și -1 din cel de-al doilea grup.

$$p\left(p-4\right)-\left(p-4\right)$$

Scoateți termenul comun p-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați p-4=0 și p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila p nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu p\left(p+1\right), cel mai mic multiplu comun al p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p cu p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Pentru a găsi opusul lui p^{2}-6p, găsiți opusul fiecărui termen.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Scădeți 1 din 5 pentru a obține 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Adăugați p^{2} la ambele părți.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Scădeți 6p din ambele părți.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Combinați p cu -6p pentru a obține -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -5 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

Adunați 25 cu -16.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$p=\frac{5±3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{5±3}{2} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 3.

$$p=\frac{8}{2}$$

Împărțiți 8 la 2.

$$p=4$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{5±3}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3 din 5.

$$p=\frac{2}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$p=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$p=4 p=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila p nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu p\left(p+1\right), cel mai mic multiplu comun al p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți p cu p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Pentru a găsi opusul lui p^{2}-6p, găsiți opusul fiecărui termen.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Adăugați p^{2} la ambele părți.

$$p+5+p^{2}=1+6p$$

Scădeți 6p din ambele părți.

$$p+5+p^{2}-6p=1$$

Combinați p cu -6p pentru a obține -5p.

$$-5p+5+p^{2}=1$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$-5p+p^{2}=1-5$$

Scădeți 5 din 1 pentru a obține -4.

$$-5p+p^{2}=-4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$p^{2}-5p=-4$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$p^{2}-5p+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Adunați -4 cu \frac{25}{4}.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Factorul p^{2}-5p+\frac{25}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$p-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} p-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$p=4 p=1$$