Rezolvați f/f^2+19f+90-9/f^2+17f+72

$$\frac { f } { f ^ { 2 } + 19 f + 90 } - \frac { 9 } { f ^ { 2 } + 17 f + 72 }$$

Evaluați

$$\frac{f-10}{\left(f+8\right)\left(f+10\right)}$$

Pașii soluției scurte

Descompuneți în factori f^{2}+19f+90. Descompuneți în factori f^{2}+17f+72.

$$\frac{f}{\left(f+9\right)\left(f+10\right)}-\frac{9}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(f+9\right)\left(f+10\right) și \left(f+8\right)\left(f+9\right) este \left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right). Înmulțiți \frac{f}{\left(f+9\right)\left(f+10\right)} cu \frac{f+8}{f+8}. Înmulțiți \frac{9}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)} cu \frac{f+10}{f+10}.

$$\frac{f\left(f+8\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)}-\frac{9\left(f+10\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)}$$

Deoarece \frac{f\left(f+8\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)} și \frac{9\left(f+10\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{f\left(f+8\right)-9\left(f+10\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)}$$

Faceți înmulțiri în f\left(f+8\right)-9\left(f+10\right).

$$\frac{f^{2}+8f-9f-90}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)}$$

Combinați termeni similari în f^{2}+8f-9f-90.

$$\frac{f^{2}-f-90}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)}$$

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{f^{2}-f-90}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)}.

$$\frac{\left(f-10\right)\left(f+9\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)}$$

Reduceți prin eliminare f+9 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{f-10}{\left(f+8\right)\left(f+10\right)}$$

Extindeți \left(f+8\right)\left(f+10\right).

$$\frac{f-10}{f^{2}+18f+80}$$

Calculați derivata în funcție de f

$$\frac{260+20f-f^{2}}{f^{4}+36f^{3}+484f^{2}+2880f+6400}$$

Pași folosind regula de derivare pentru cât

Descompuneți în factori f^{2}+19f+90. Descompuneți în factori f^{2}+17f+72.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(\frac{f}{\left(f+9\right)\left(f+10\right)}-\frac{9}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)})$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(f+9\right)\left(f+10\right) și \left(f+8\right)\left(f+9\right) este \left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right). Înmulțiți \frac{f}{\left(f+9\right)\left(f+10\right)} cu \frac{f+8}{f+8}. Înmulțiți \frac{9}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)} cu \frac{f+10}{f+10}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(\frac{f\left(f+8\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)}-\frac{9\left(f+10\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)})$$

Deoarece \frac{f\left(f+8\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)} și \frac{9\left(f+10\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(\frac{f\left(f+8\right)-9\left(f+10\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)})$$

Faceți înmulțiri în f\left(f+8\right)-9\left(f+10\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(\frac{f^{2}+8f-9f-90}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)})$$

Combinați termeni similari în f^{2}+8f-9f-90.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(\frac{f^{2}-f-90}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)})$$

Descompuneți în factori expresiile care nu sunt descompuse deja în \frac{f^{2}-f-90}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(\frac{\left(f-10\right)\left(f+9\right)}{\left(f+8\right)\left(f+9\right)\left(f+10\right)})$$

Reduceți prin eliminare f+9 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(\frac{f-10}{\left(f+8\right)\left(f+10\right)})$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți f+8 cu f+10 și a combina termenii similari.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(\frac{f-10}{f^{2}+18f+80})$$

Pentru orice două funcții diferențiabile, derivata câtului celor două funcții este numitorul înmulțit cu derivata numărătorului, minus numărătorul înmulțit cu derivata numitorului, totul împărțit la numitorul la pătrat.

$$\frac{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(f^{1}-10)-\left(f^{1}-10\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}f}(f^{2}+18f^{1}+80)}{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)^{2}}$$

Derivata unui polinom este suma derivatelor termenilor săi. Derivata unui termen constant este 0. Derivata lui ax^{n} este nax^{n-1}.

$$\frac{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)f^{1-1}-\left(f^{1}-10\right)\left(2f^{2-1}+18f^{1-1}\right)}{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)f^{0}-\left(f^{1}-10\right)\left(2f^{1}+18f^{0}\right)}{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)^{2}}$$

Înmulțiți f^{2}+18f^{1}+80 cu f^{0}.

$$\frac{f^{2}f^{0}+18f^{1}f^{0}+80f^{0}-\left(f^{1}-10\right)\left(2f^{1}+18f^{0}\right)}{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)^{2}}$$

Înmulțiți f^{1}-10 cu 2f^{1}+18f^{0}.

$$\frac{f^{2}f^{0}+18f^{1}f^{0}+80f^{0}-\left(f^{1}\times 2f^{1}+f^{1}\times 18f^{0}-10\times 2f^{1}-10\times 18f^{0}\right)}{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)^{2}}$$

Pentru a înmulți puterile cu aceleași baze, adunați exponenții lor.

$$\frac{f^{2}+18f^{1}+80f^{0}-\left(2f^{1+1}+18f^{1}-10\times 2f^{1}-10\times 18f^{0}\right)}{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)^{2}}$$

Simplificați.

$$\frac{f^{2}+18f^{1}+80f^{0}-\left(2f^{2}+18f^{1}-20f^{1}-180f^{0}\right)}{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)^{2}}$$

Combinați termenii asemenea.

$$\frac{-f^{2}+20f^{1}+260f^{0}}{\left(f^{2}+18f^{1}+80\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t^{1}=t.

$$\frac{-f^{2}+20f+260f^{0}}{\left(f^{2}+18f+80\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t cu excepția lui 0, t^{0}=1.

$$\frac{-f^{2}+20f+260\times 1}{\left(f^{2}+18f+80\right)^{2}}$$

Pentru orice termen t, t\times 1=t și 1t=t.

$$\frac{-f^{2}+20f+260}{\left(f^{2}+18f+80\right)^{2}}$$