Rezolvați f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Rezolvați pentru f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 33, cel mai mic multiplu comun al 11,33.

$$3f=g$$

Se împart ambele părți la 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Înlocuiți f cu \frac{g}{3} în cealaltă ecuație, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Adunați \frac{g}{3} cu g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{4}{3}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$g=30$$

Înlocuiți g cu 30 în f=\frac{1}{3}g. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, f se poate rezolva direct.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu 30.

$$f=10$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$f=10,g=30$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 33, cel mai mic multiplu comun al 11,33.

$$3f=g$$

Scădeți g din ambele părți.

$$3f-g=0$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele f și g ale matricei.

$$f=10,g=30$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 33, cel mai mic multiplu comun al 11,33.

$$3f=g$$

Scădeți g din ambele părți.

$$3f-g=0$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Pentru a egala 3f și f, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Simplificați.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Scădeți pe 3f+3g=120 din 3f-g=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Adunați 3f cu -3f. Termenii 3f și -3f se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-g-3g=-120$$

Adunați -g cu -3g.

$$-4g=-120$$

Se împart ambele părți la -4.

$$g=30$$

Înlocuiți g cu 30 în f+g=40. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, f se poate rezolva direct.

$$f+30=40$$

Scădeți 30 din ambele părți ale ecuației.

$$f=10$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$f=10,g=30$$