Rezolvați 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -15,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4x\left(x+15\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x+60 cu 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Înmulțiți 4 cu 75 pentru a obține 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Înmulțiți 4 cu \frac{1}{4} pentru a obține 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combinați 300x cu 15x pentru a obține 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Scădeți 315x din ambele părți.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combinați 300x cu -315x pentru a obține -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+4500. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=60 b=-75$$

Rescrieți -x^{2}-15x+4500 ca \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Factor x în primul și 75 în al doilea grup.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Scoateți termenul comun -x+60 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+60=0 și x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -15,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4x\left(x+15\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x+60 cu 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Înmulțiți 4 cu 75 pentru a obține 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Înmulțiți 4 cu \frac{1}{4} pentru a obține 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combinați 300x cu 15x pentru a obține 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Scădeți 315x din ambele părți.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combinați 300x cu -315x pentru a obține -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -15 și c cu 4500 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 225 cu 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±135}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Împărțiți 150 la -2.

$$x=-75$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±135}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 135 din 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Împărțiți -120 la -2.

$$x=60$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-75 x=60$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -15,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4x\left(x+15\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x+60 cu 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Înmulțiți 4 cu 75 pentru a obține 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Înmulțiți 4 cu \frac{1}{4} pentru a obține 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combinați 300x cu 15x pentru a obține 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Scădeți 315x din ambele părți.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combinați 300x cu -315x pentru a obține -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Scădeți 4500 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Împărțiți -15 la -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Împărțiți -4500 la -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Împărțiți 15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Adunați 4500 cu \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Factor x^{2}+15x+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Scădeți \frac{15}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=60 x=-75$$