Rezolvați 7/x-3-10/x-2-6/x-1=0

$$\frac { 7 } { x - 3 } - \frac { 10 } { x - 2 } - \frac { 6 } { x - 1 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} \approx 1,444444444$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-3x+2 cu 7.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-4x+3 cu 10.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Pentru a găsi opusul lui 10x^{2}-40x+30, găsiți opusul fiecărui termen.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Combinați 7x^{2} cu -10x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Combinați -21x cu 40x pentru a obține 19x.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Scădeți 30 din 14 pentru a obține -16.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-5x+6 cu 6.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 6x^{2}-30x+36, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

Combinați -3x^{2} cu -6x^{2} pentru a obține -9x^{2}.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

Combinați 19x cu 30x pentru a obține 49x.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

Scădeți 36 din -16 pentru a obține -52.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -9x^{2}+ax+bx-52. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=49 ab=-9\left(-52\right)=468$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 468.

$$1,468 2,234 3,156 4,117 6,78 9,52 12,39 13,36 18,26$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+468=469 2+234=236 3+156=159 4+117=121 6+78=84 9+52=61 12+39=51 13+36=49 18+26=44$$

Soluția este perechea care dă suma de 49.

$$a=36 b=13$$

Rescrieți -9x^{2}+49x-52 ca \left(-9x^{2}+36x\right)+\left(13x-52\right).

$$\left(-9x^{2}+36x\right)+\left(13x-52\right)$$

Factor 9x în primul și -13 în al doilea grup.

$$9x\left(-x+4\right)-13\left(-x+4\right)$$

Scoateți termenul comun -x+4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+4\right)\left(9x-13\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+4=0 și 9x-13=0.

$$x=4 x=\frac{13}{9}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-3x+2 cu 7.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-4x+3 cu 10.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Pentru a găsi opusul lui 10x^{2}-40x+30, găsiți opusul fiecărui termen.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Combinați 7x^{2} cu -10x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Combinați -21x cu 40x pentru a obține 19x.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Scădeți 30 din 14 pentru a obține -16.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-5x+6 cu 6.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 6x^{2}-30x+36, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

Combinați -3x^{2} cu -6x^{2} pentru a obține -9x^{2}.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

Combinați 19x cu 30x pentru a obține 49x.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

Scădeți 36 din -16 pentru a obține -52.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -9, b cu 49 și c cu -52 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Ridicați 49 la pătrat.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -9.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401+36\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 36 cu -52.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-1872}}{2\left(-9\right)}$$

Adunați 2401 cu -1872.

$$x=\frac{-49±\sqrt{529}}{2\left(-9\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 529.

$$x=\frac{-49±23}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -9.

$$x=\frac{-49±23}{-18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-49±23}{-18} atunci când ± este plus. Adunați -49 cu 23.

$$x=-\frac{26}{-18}$$

Reduceți fracția \frac{-26}{-18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{13}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-49±23}{-18} atunci când ± este minus. Scădeți 23 din -49.

$$x=-\frac{72}{-18}$$

Împărțiți -72 la -18.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{13}{9} x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 1,2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-3x+2 cu 7.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-4x+3 cu 10.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Pentru a găsi opusul lui 10x^{2}-40x+30, găsiți opusul fiecărui termen.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Combinați 7x^{2} cu -10x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Combinați -21x cu 40x pentru a obține 19x.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Scădeți 30 din 14 pentru a obține -16.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-5x+6 cu 6.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

Pentru a găsi opusul lui 6x^{2}-30x+36, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

Combinați -3x^{2} cu -6x^{2} pentru a obține -9x^{2}.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

Combinați 19x cu 30x pentru a obține 49x.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

Scădeți 36 din -16 pentru a obține -52.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

Adăugați 52 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$-9x^{2}+49x=52$$

Se împart ambele părți la -9.

$$\frac{-9x^{2}+49x}{-9}=\frac{52}{-9}$$

Împărțirea la -9 anulează înmulțirea cu -9.

$$x^{2}+\frac{49}{-9}x=\frac{52}{-9}$$

Împărțiți 49 la -9.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x=\frac{52}{-9}$$

Împărțiți 52 la -9.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x=-\frac{52}{9}$$

Împărțiți -\frac{49}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{49}{18}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{49}{18} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\left(-\frac{49}{18}\right)^{2}=-\frac{52}{9}+\left(-\frac{49}{18}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{49}{18} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=-\frac{52}{9}+\frac{2401}{324}$$

Adunați -\frac{52}{9} cu \frac{2401}{324} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=\frac{529}{324}$$

Factor x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{49}{18}\right)^{2}=\frac{529}{324}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{49}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{324}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{49}{18}=\frac{23}{18} x-\frac{49}{18}=-\frac{23}{18}$$

Adunați \frac{49}{18} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=\frac{13}{9}$$