Rezolvați frac{7+sqrt{6}}{7-sqrt{6}}-frac{7-sqrt{6}}{7+sqrt{6}}

$$\frac { 7 + \sqrt { 6 } } { 7 - \sqrt { 6 } } - \frac { 7 - \sqrt { 6 } } { 7 + \sqrt { 6 } }$$

Evaluați

$$\frac{28\sqrt{6}}{43}\approx 1,595016577$$

Pașii soluției scurte

Raționalizați numitor de \frac{7+\sqrt{6}}{7-\sqrt{6}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 7+\sqrt{6}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Să luăm \left(7-\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{7^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Ridicați 7 la pătrat. Ridicați \sqrt{6} la pătrat.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{49-6}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Scădeți 6 din 49 pentru a obține 43.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7+\sqrt{6}\right)}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Înmulțiți 7+\sqrt{6} cu 7+\sqrt{6} pentru a obține \left(7+\sqrt{6}\right)^{2}.

$$\frac{\left(7+\sqrt{6}\right)^{2}}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(7+\sqrt{6}\right)^{2}.

$$\frac{49+14\sqrt{6}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Pătratul lui \sqrt{6} este 6.

$$\frac{49+14\sqrt{6}+6}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Adunați 49 și 6 pentru a obține 55.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}}$$

Raționalizați numitor de \frac{7-\sqrt{6}}{7+\sqrt{6}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 7-\sqrt{6}.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{\left(7+\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}$$

Să luăm \left(7+\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{7^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}$$

Ridicați 7 la pătrat. Ridicați \sqrt{6} la pătrat.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{49-6}$$

Scădeți 6 din 49 pentru a obține 43.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)\left(7-\sqrt{6}\right)}{43}$$

Înmulțiți 7-\sqrt{6} cu 7-\sqrt{6} pentru a obține \left(7-\sqrt{6}\right)^{2}.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{\left(7-\sqrt{6}\right)^{2}}{43}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(7-\sqrt{6}\right)^{2}.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{49-14\sqrt{6}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}}{43}$$

Pătratul lui \sqrt{6} este 6.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{49-14\sqrt{6}+6}{43}$$

Adunați 49 și 6 pentru a obține 55.

$$\frac{55+14\sqrt{6}}{43}-\frac{55-14\sqrt{6}}{43}$$

Deoarece \frac{55+14\sqrt{6}}{43} și \frac{55-14\sqrt{6}}{43} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{55+14\sqrt{6}-\left(55-14\sqrt{6}\right)}{43}$$

Faceți înmulțiri în 55+14\sqrt{6}-\left(55-14\sqrt{6}\right).

$$\frac{55+14\sqrt{6}-55+14\sqrt{6}}{43}$$

Faceți calcule în 55+14\sqrt{6}-55+14\sqrt{6}.

$$\frac{28\sqrt{6}}{43}$$