Rezolvați 60/x+10+60/x-10=8

$$\frac { 60 } { x + 10 } + \frac { 60 } { x - 10 } = 8$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

$$x=20$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -10,10, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-10\right)\left(x+10\right), cel mai mic multiplu comun al x+10,x-10.

$$\left(x-10\right)\times 60+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-10 cu 60.

$$60x-600+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+10 cu 60.

$$60x-600+60x+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Combinați 60x cu 60x pentru a obține 120x.

$$120x-600+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Adunați -600 și 600 pentru a obține 0.

$$120x=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8 cu x-10.

$$120x=\left(8x-80\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8x-80 cu x+10 și a combina termenii similari.

$$120x=8x^{2}-800$$

Scădeți 8x^{2} din ambele părți.

$$120x-8x^{2}=-800$$

Adăugați 800 la ambele părți.

$$120x-8x^{2}+800=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-8x^{2}+120x+800=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu 120 și c cu 800 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\left(-8\right)\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 120 la pătrat.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\left(-8\right)\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+32\times 800}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu 800.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400+25600}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 14400 cu 25600.

$$x=\frac{-120±\sqrt{40000}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 40000.

$$x=\frac{-120±200}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$x=\frac{-120±200}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-120±200}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -120 cu 200.

$$x=\frac{80}{-16}$$

Împărțiți 80 la -16.

$$x=-5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-120±200}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 200 din -120.

$$x=-\frac{320}{-16}$$

Împărțiți -320 la -16.

$$x=20$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5 x=20$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -10,10, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-10\right)\left(x+10\right), cel mai mic multiplu comun al x+10,x-10.

$$\left(x-10\right)\times 60+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-10 cu 60.

$$60x-600+\left(x+10\right)\times 60=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+10 cu 60.

$$60x-600+60x+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Combinați 60x cu 60x pentru a obține 120x.

$$120x-600+600=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Adunați -600 și 600 pentru a obține 0.

$$120x=8\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8 cu x-10.

$$120x=\left(8x-80\right)\left(x+10\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8x-80 cu x+10 și a combina termenii similari.

$$120x=8x^{2}-800$$

Scădeți 8x^{2} din ambele părți.

$$120x-8x^{2}=-800$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+120x=-800$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8x^{2}+120x}{-8}=-\frac{800}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$x^{2}+\frac{120}{-8}x=-\frac{800}{-8}$$

Împărțiți 120 la -8.

$$x^{2}-15x=-\frac{800}{-8}$$

Împărțiți -800 la -8.

$$x^{2}-15x=100$$

Împărțiți -15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

Adunați 100 cu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

Factor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

Adunați \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=20 x=-5$$