Rezolvați 6x/x^2-1-5/1-x=x+4/x+1

$$\frac { 6 x } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { 5 } { 1 - x } = \frac { x + 4 } { x + 1 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=9$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-1,1-x,x+1.

$$6x-\left(-\left(1+x\right)\times 5\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Înmulțiți -1 cu 5 pentru a obține -5.

$$6x-\left(-5\left(1+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu 1+x.

$$6x-\left(-5-5x\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi opusul lui -5-5x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x+5+5x=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Combinați 6x cu 5x pentru a obține 11x.

$$11x+5=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+4 și a combina termenii similari.

$$11x+5=x^{2}+3x-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$11x+5-x^{2}=3x-4$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$11x+5-x^{2}-3x=-4$$

Combinați 11x cu -3x pentru a obține 8x.

$$8x+5-x^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$8x+5-x^{2}+4=0$$

Adunați 5 și 4 pentru a obține 9.

$$8x+9-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+8x+9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=8 ab=-9=-9$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -9.

$$-1,9 -3,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+9=8 -3+3=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=9 b=-1$$

Rescrieți -x^{2}+8x+9 ca \left(-x^{2}+9x\right)+\left(-x+9\right).

$$\left(-x^{2}+9x\right)+\left(-x+9\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(x-9\right)-\left(x-9\right)$$

Scoateți termenul comun x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-9\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-9=0 și -x-1=0.

$$x=9 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -1.

$$x=9$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-1,1-x,x+1.

$$6x-\left(-\left(1+x\right)\times 5\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Înmulțiți -1 cu 5 pentru a obține -5.

$$6x-\left(-5\left(1+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu 1+x.

$$6x-\left(-5-5x\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi opusul lui -5-5x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x+5+5x=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Combinați 6x cu 5x pentru a obține 11x.

$$11x+5=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+4 și a combina termenii similari.

$$11x+5=x^{2}+3x-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$11x+5-x^{2}=3x-4$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$11x+5-x^{2}-3x=-4$$

Combinați 11x cu -3x pentru a obține 8x.

$$8x+5-x^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$8x+5-x^{2}+4=0$$

Adunați 5 și 4 pentru a obține 9.

$$8x+9-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+8x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 8 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+36}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 64 cu 36.

$$x=\frac{-8±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-8±10}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-8±10}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±10}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 10.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±10}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -8.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Împărțiți -18 la -2.

$$x=9$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=9$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -1.

$$x=9$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-1,1-x,x+1.

$$6x-\left(-\left(1+x\right)\times 5\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Înmulțiți -1 cu 5 pentru a obține -5.

$$6x-\left(-5\left(1+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu 1+x.

$$6x-\left(-5-5x\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi opusul lui -5-5x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$6x+5+5x=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Combinați 6x cu 5x pentru a obține 11x.

$$11x+5=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu x+4 și a combina termenii similari.

$$11x+5=x^{2}+3x-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$11x+5-x^{2}=3x-4$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$11x+5-x^{2}-3x=-4$$

Combinați 11x cu -3x pentru a obține 8x.

$$8x+5-x^{2}=-4$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$8x-x^{2}=-4-5$$

Scădeți 5 din -4 pentru a obține -9.

$$8x-x^{2}=-9$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x=-9$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{9}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{9}{-1}$$

Împărțiți 8 la -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{9}{-1}$$

Împărțiți -9 la -1.

$$x^{2}-8x=9$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Adunați 9 cu 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Factor x^{2}-8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplificați.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=9 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -1.

$$x=9$$