Rezolvați frac{6-sqrt{20}}{6+sqrt{20}}

$$\frac { 6 - \sqrt { 20 } } { 6 + \sqrt { 20 } }$$

Evaluați

$$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Pașii soluției

Descompuneți în factori 20=2^{2}\times 5. Rescrieți rădăcina pătrată a produsului \sqrt{2^{2}\times 5} ca produs a rădăcini pătrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{5}. Aflați rădăcina pătrată pentru 2^{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{5}}{6+\sqrt{20}}$$

Descompuneți în factori 20=2^{2}\times 5. Rescrieți rădăcina pătrată a produsului \sqrt{2^{2}\times 5} ca produs a rădăcini pătrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{5}. Aflați rădăcina pătrată pentru 2^{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}$$

Raționalizați numitor de \frac{6-2\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 6-2\sqrt{5}.

$$\frac{\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)}{\left(6+2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)}$$

Să luăm \left(6+2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(6-2\sqrt{5}\right)}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Înmulțiți 6-2\sqrt{5} cu 6-2\sqrt{5} pentru a obține \left(6-2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(6-2\sqrt{5}\right)^{2}}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(6-2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{36-24\sqrt{5}+4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{36-24\sqrt{5}+4\times 5}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Înmulțiți 4 cu 5 pentru a obține 20.

$$\frac{36-24\sqrt{5}+20}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Adunați 36 și 20 pentru a obține 56.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{6^{2}-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Calculați 6 la puterea 2 și obțineți 36.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-\left(2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{5} este 5.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-4\times 5}$$

Înmulțiți 4 cu 5 pentru a obține 20.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{36-20}$$

Scădeți 20 din 36 pentru a obține 16.

$$\frac{56-24\sqrt{5}}{16}$$