Rezolvați frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Rezolvați pentru k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, cel mai mic multiplu comun al \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6 cu k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Pentru a găsi opusul lui 9k^{4}-6k^{2}+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combinați 6k^{4} cu -9k^{4} pentru a obține -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combinați 12k^{2} cu 6k^{2} pentru a obține 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Scădeți 1 din 6 pentru a obține 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Pentru a ridica o putere la o altă putere, înmulțiți exponenții. Înmulțiți 2 cu 2 pentru a obține 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Scădeți 45k^{4} din ambele părți.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Combinați -12k^{4} cu -45k^{4} pentru a obține -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Scădeți 30k^{2} din ambele părți.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Combinați 72k^{2} cu -30k^{2} pentru a obține 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Scădeți 5 din 20 pentru a obține 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Înlocuiți k^{2} cu t.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu -57, b cu 42 și c cu 15.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Faceți calculele.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Rezolvați ecuația t=\frac{-42±72}{-114} când ± este plus și când ± este minus.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

De la k=t^{2}, soluțiile sunt obținute prin evaluarea k=±\sqrt{t} pentru t pozitive.

$$k=1 k=-1$$