Rezolvați frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Evaluați

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Pașii soluției

Descompuneți în factori 27=3^{2}\times 3. Rescrieți rădăcina pătrată a produsului \sqrt{3^{2}\times 3} ca produs a rădăcini pătrate \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Aflați rădăcina pătrată pentru 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Raționalizați numitor de \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Să luăm \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Ridicați 4 la pătrat. Ridicați \sqrt{3} la pătrat.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Scădeți 3 din 16 pentru a obține 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 6+3\sqrt{3} la fiecare termen de 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Combinați 6\sqrt{3} cu 12\sqrt{3} pentru a obține 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Înmulțiți 3 cu 3 pentru a obține 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Adunați 24 și 9 pentru a obține 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$