Rezolvați 57/x+2-21/x+6=1

$$\frac { 57 } { x + 2 } - \frac { 21 } { x + 6 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-8$$

$$x=36$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,-2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+2\right)\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x+2,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 57-\left(x+2\right)\times 21=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu 57.

$$57x+342-\left(x+2\right)\times 21=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 21.

$$57x+342-\left(21x+42\right)=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 21x+42, găsiți opusul fiecărui termen.

$$57x+342-21x-42=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Combinați 57x cu -21x pentru a obține 36x.

$$36x+342-42=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Scădeți 42 din 342 pentru a obține 300.

$$36x+300=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x+6 și a combina termenii similari.

$$36x+300=x^{2}+8x+12$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$36x+300-x^{2}=8x+12$$

Scădeți 8x din ambele părți.

$$36x+300-x^{2}-8x=12$$

Combinați 36x cu -8x pentru a obține 28x.

$$28x+300-x^{2}=12$$

Scădeți 12 din ambele părți.

$$28x+300-x^{2}-12=0$$

Scădeți 12 din 300 pentru a obține 288.

$$28x+288-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+28x+288=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 28 și c cu 288 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-1\right)\times 288}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 28 la pătrat.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-1\right)\times 288}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+4\times 288}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 288.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+1152}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 784 cu 1152.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1936}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1936.

$$x=\frac{-28±44}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-28±44}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±44}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -28 cu 44.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Împărțiți 16 la -2.

$$x=-8$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±44}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 44 din -28.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

Împărțiți -72 la -2.

$$x=36$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-8 x=36$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,-2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+2\right)\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x+2,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 57-\left(x+2\right)\times 21=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu 57.

$$57x+342-\left(x+2\right)\times 21=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 21.

$$57x+342-\left(21x+42\right)=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 21x+42, găsiți opusul fiecărui termen.

$$57x+342-21x-42=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Combinați 57x cu -21x pentru a obține 36x.

$$36x+342-42=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Scădeți 42 din 342 pentru a obține 300.

$$36x+300=\left(x+2\right)\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x+6 și a combina termenii similari.

$$36x+300=x^{2}+8x+12$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$36x+300-x^{2}=8x+12$$

Scădeți 8x din ambele părți.

$$36x+300-x^{2}-8x=12$$

Combinați 36x cu -8x pentru a obține 28x.

$$28x+300-x^{2}=12$$

Scădeți 300 din ambele părți.

$$28x-x^{2}=12-300$$

Scădeți 300 din 12 pentru a obține -288.

$$28x-x^{2}=-288$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+28x=-288$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+28x}{-1}=-\frac{288}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{28}{-1}x=-\frac{288}{-1}$$

Împărțiți 28 la -1.

$$x^{2}-28x=-\frac{288}{-1}$$

Împărțiți -288 la -1.

$$x^{2}-28x=288$$

Împărțiți -28, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -14. Apoi, adunați pătratul lui -14 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-28x+\left(-14\right)^{2}=288+\left(-14\right)^{2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x^{2}-28x+196=288+196$$

Adunați 288 cu 196.

$$x^{2}-28x+196=484$$

Factor x^{2}-28x+196. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-14\right)^{2}=484$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-14\right)^{2}}=\sqrt{484}$$

Simplificați.

$$x-14=22 x-14=-22$$

Adunați 14 la ambele părți ale ecuației.

$$x=36 x=-8$$