Rezolvați 5x+9/8x-1-5x+1/3x-1=1

$$\frac { 5 x + 9 } { 8 x - 1 } - \frac { 5 x + 1 } { 3 x - 1 } = 1$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}\approx 0,306122449-0,29993752i$$

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}\approx 0,306122449+0,29993752i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile \frac{1}{8},\frac{1}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(3x-1\right)\left(8x-1\right), cel mai mic multiplu comun al 8x-1,3x-1.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-1 cu 5x+9 și a combina termenii similari.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8x-1 cu 5x+1 și a combina termenii similari.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 40x^{2}+3x-1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Combinați 15x^{2} cu -40x^{2} pentru a obține -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Combinați 22x cu -3x pentru a obține 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Adunați -9 și 1 pentru a obține -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-1 cu 8x-1 și a combina termenii similari.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

Scădeți 24x^{2} din ambele părți.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

Combinați -25x^{2} cu -24x^{2} pentru a obține -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

Adăugați 11x la ambele părți.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

Combinați 19x cu 11x pentru a obține 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$-49x^{2}+30x-8-1=0$$

Scădeți 1 din -8 pentru a obține -9.

$$-49x^{2}+30x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -49, b cu 30 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Ridicați 30 la pătrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+196\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 196 cu -9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-1764}}{2\left(-49\right)}$$

Adunați 900 cu -1764.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-864}}{2\left(-49\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -864.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -49.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98} atunci când ± este plus. Adunați -30 cu 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-30+12\sqrt{6}i}{-98}$$

Împărțiți -30+12i\sqrt{6} la -98.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98} atunci când ± este minus. Scădeți 12i\sqrt{6} din -30.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i-30}{-98}$$

Împărțiți -30-12i\sqrt{6} la -98.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49} x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile \frac{1}{8},\frac{1}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(3x-1\right)\left(8x-1\right), cel mai mic multiplu comun al 8x-1,3x-1.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-1 cu 5x+9 și a combina termenii similari.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 8x-1 cu 5x+1 și a combina termenii similari.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 40x^{2}+3x-1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Combinați 15x^{2} cu -40x^{2} pentru a obține -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Combinați 22x cu -3x pentru a obține 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Adunați -9 și 1 pentru a obține -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-1 cu 8x-1 și a combina termenii similari.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

Scădeți 24x^{2} din ambele părți.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

Combinați -25x^{2} cu -24x^{2} pentru a obține -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

Adăugați 11x la ambele părți.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

Combinați 19x cu 11x pentru a obține 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

Adăugați 8 la ambele părți.

$$-49x^{2}+30x=1+8$$

Adunați 1 și 8 pentru a obține 9.

$$-49x^{2}+30x=9$$

Se împart ambele părți la -49.

$$\frac{-49x^{2}+30x}{-49}=\frac{9}{-49}$$

Împărțirea la -49 anulează înmulțirea cu -49.

$$x^{2}+\frac{30}{-49}x=\frac{9}{-49}$$

Împărțiți 30 la -49.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=\frac{9}{-49}$$

Împărțiți 9 la -49.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=-\frac{9}{49}$$

Împărțiți -\frac{30}{49}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{49}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{49} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{9}{49}+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{49} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{9}{49}+\frac{225}{2401}$$

Adunați -\frac{9}{49} cu \frac{225}{2401} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{216}{2401}$$

Factor x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{216}{2401}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{216}{2401}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{49}=\frac{6\sqrt{6}i}{49} x-\frac{15}{49}=-\frac{6\sqrt{6}i}{49}$$

Adunați \frac{15}{49} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49} x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$