Rezolvați 5p^2+3p/1+p=4

$$\frac { 5 p ^ { 2 } + 3 p } { 1 + p } = 4$$

Rezolvați pentru p

$$p=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$p=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila p nu poate fi egală cu -1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu p+1.

$$5p^{2}+3p=4\left(p+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu p+1.

$$5p^{2}+3p=4p+4$$

Scădeți 4p din ambele părți.

$$5p^{2}+3p-4p=4$$

Combinați 3p cu -4p pentru a obține -p.

$$5p^{2}-p=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$5p^{2}-p-4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5p^{2}+ap+bp-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-5 b=4$$

Rescrieți 5p^{2}-p-4 ca \left(5p^{2}-5p\right)+\left(4p-4\right).

$$\left(5p^{2}-5p\right)+\left(4p-4\right)$$

Factor 5p în primul și 4 în al doilea grup.

$$5p\left(p-1\right)+4\left(p-1\right)$$

Scoateți termenul comun p-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(p-1\right)\left(5p+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați p-1=0 și 5p+4=0.

$$p=1 p=-\frac{4}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila p nu poate fi egală cu -1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu p+1.

$$5p^{2}+3p=4\left(p+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu p+1.

$$5p^{2}+3p=4p+4$$

Scădeți 4p din ambele părți.

$$5p^{2}+3p-4p=4$$

Combinați 3p cu -4p pentru a obține -p.

$$5p^{2}-p=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$5p^{2}-p-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -1 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -4.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

Adunați 1 cu 80.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$p=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 5}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$p=\frac{1±9}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$p=\frac{1±9}{10}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{1±9}{10} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 9.

$$p=\frac{10}{10}$$

Împărțiți 10 la 10.

$$p=1$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{1±9}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 1.

$$p=-\frac{8}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$p=-\frac{4}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$p=1 p=-\frac{4}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila p nu poate fi egală cu -1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu p+1.

$$5p^{2}+3p=4\left(p+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu p+1.

$$5p^{2}+3p=4p+4$$

Scădeți 4p din ambele părți.

$$5p^{2}+3p-4p=4$$

Combinați 3p cu -4p pentru a obține -p.

$$5p^{2}-p=4$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5p^{2}-p}{5}=\frac{4}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$p^{2}-\frac{1}{5}p=\frac{4}{5}$$

Împărțiți -\frac{1}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$p^{2}-\frac{1}{5}p+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$p^{2}-\frac{1}{5}p+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

Adunați \frac{4}{5} cu \frac{1}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$p^{2}-\frac{1}{5}p+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

Factor p^{2}-\frac{1}{5}p+\frac{1}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(p-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Simplificați.

$$p-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} p-\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

Adunați \frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$p=1 p=-\frac{4}{5}$$