Rezolvați 5-3x/3-5x+3-5x/5-3x=5/2

$$\frac { 5 - 3 x } { 3 - 5 x } + \frac { 3 - 5 x } { 5 - 3 x } = \frac { 5 } { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

$$x=7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile \frac{3}{5},\frac{5}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(3x-5\right)\left(5x-3\right), cel mai mic multiplu comun al 3-5x,5-3x,2.

$$\left(10-6x\right)\left(5-3x\right)+\left(6-10x\right)\left(3-5x\right)=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10-6x cu 5-3x și a combina termenii similari.

$$50-60x+18x^{2}+\left(6-10x\right)\left(3-5x\right)=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6-10x cu 3-5x și a combina termenii similari.

$$50-60x+18x^{2}+18-60x+50x^{2}=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Adunați 50 și 18 pentru a obține 68.

$$68-60x+18x^{2}-60x+50x^{2}=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Combinați -60x cu -60x pentru a obține -120x.

$$68-120x+18x^{2}+50x^{2}=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Combinați 18x^{2} cu 50x^{2} pentru a obține 68x^{2}.

$$68-120x+68x^{2}=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 3x-5.

$$68-120x+68x^{2}=\left(15x-25\right)\left(5x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15x-25 cu 5x-3 și a combina termenii similari.

$$68-120x+68x^{2}=75x^{2}-170x+75$$

Scădeți 75x^{2} din ambele părți.

$$68-120x+68x^{2}-75x^{2}=-170x+75$$

Combinați 68x^{2} cu -75x^{2} pentru a obține -7x^{2}.

$$68-120x-7x^{2}=-170x+75$$

Adăugați 170x la ambele părți.

$$68-120x-7x^{2}+170x=75$$

Combinați -120x cu 170x pentru a obține 50x.

$$68+50x-7x^{2}=75$$

Scădeți 75 din ambele părți.

$$68+50x-7x^{2}-75=0$$

Scădeți 75 din 68 pentru a obține -7.

$$-7+50x-7x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-7x^{2}+50x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -7, b cu 50 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-7\right)\left(-7\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Ridicați 50 la pătrat.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-7\right)\left(-7\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -7.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+28\left(-7\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Înmulțiți 28 cu -7.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-196}}{2\left(-7\right)}$$

Adunați 2500 cu -196.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2304}}{2\left(-7\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2304.

$$x=\frac{-50±48}{2\left(-7\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -7.

$$x=\frac{-50±48}{-14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-50±48}{-14} atunci când ± este plus. Adunați -50 cu 48.

$$x=-\frac{2}{-14}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{-14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-50±48}{-14} atunci când ± este minus. Scădeți 48 din -50.

$$x=-\frac{98}{-14}$$

Împărțiți -98 la -14.

$$x=7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{7} x=7$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile \frac{3}{5},\frac{5}{3}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2\left(3x-5\right)\left(5x-3\right), cel mai mic multiplu comun al 3-5x,5-3x,2.

$$\left(10-6x\right)\left(5-3x\right)+\left(6-10x\right)\left(3-5x\right)=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 10-6x cu 5-3x și a combina termenii similari.

$$50-60x+18x^{2}+\left(6-10x\right)\left(3-5x\right)=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6-10x cu 3-5x și a combina termenii similari.

$$50-60x+18x^{2}+18-60x+50x^{2}=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Adunați 50 și 18 pentru a obține 68.

$$68-60x+18x^{2}-60x+50x^{2}=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Combinați -60x cu -60x pentru a obține -120x.

$$68-120x+18x^{2}+50x^{2}=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Combinați 18x^{2} cu 50x^{2} pentru a obține 68x^{2}.

$$68-120x+68x^{2}=5\left(3x-5\right)\left(5x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5 cu 3x-5.

$$68-120x+68x^{2}=\left(15x-25\right)\left(5x-3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 15x-25 cu 5x-3 și a combina termenii similari.

$$68-120x+68x^{2}=75x^{2}-170x+75$$

Scădeți 75x^{2} din ambele părți.

$$68-120x+68x^{2}-75x^{2}=-170x+75$$

Combinați 68x^{2} cu -75x^{2} pentru a obține -7x^{2}.

$$68-120x-7x^{2}=-170x+75$$

Adăugați 170x la ambele părți.

$$68-120x-7x^{2}+170x=75$$

Combinați -120x cu 170x pentru a obține 50x.

$$68+50x-7x^{2}=75$$

Scădeți 68 din ambele părți.

$$50x-7x^{2}=75-68$$

Scădeți 68 din 75 pentru a obține 7.

$$50x-7x^{2}=7$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-7x^{2}+50x=7$$

Se împart ambele părți la -7.

$$\frac{-7x^{2}+50x}{-7}=\frac{7}{-7}$$

Împărțirea la -7 anulează înmulțirea cu -7.

$$x^{2}+\frac{50}{-7}x=\frac{7}{-7}$$

Împărțiți 50 la -7.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x=\frac{7}{-7}$$

Împărțiți 7 la -7.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x=-1$$

Împărțiți -\frac{50}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{25}{7}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{25}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x+\left(-\frac{25}{7}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{25}{7}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{25}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x+\frac{625}{49}=-1+\frac{625}{49}$$

Adunați -1 cu \frac{625}{49}.

$$x^{2}-\frac{50}{7}x+\frac{625}{49}=\frac{576}{49}$$

Factor x^{2}-\frac{50}{7}x+\frac{625}{49}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{7}\right)^{2}=\frac{576}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{576}{49}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{25}{7}=\frac{24}{7} x-\frac{25}{7}=-\frac{24}{7}$$

Adunați \frac{25}{7} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=\frac{1}{7}$$