Rezolvați 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-4x+3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combinați 5x cu 4x pentru a obține 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Scădeți 3 din -10 pentru a obține -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7x-21 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Scădeți 7x^{2} din ambele părți.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Combinați -x^{2} cu -7x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Adăugați 35x la ambele părți.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Combinați 9x cu 35x pentru a obține 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Scădeți 42 din ambele părți.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Scădeți 42 din -13 pentru a obține -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -8, b cu 44 și c cu -55 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 44 la pătrat.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 1936 cu -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -44 cu 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Împărțiți -44+4\sqrt{11} la -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{11} din -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Împărțiți -44-4\sqrt{11} la -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 2,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x-2\right), cel mai mic multiplu comun al x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}-4x+3, găsiți opusul fiecărui termen.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combinați 5x cu 4x pentru a obține 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Scădeți 3 din -10 pentru a obține -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7x-21 cu x-2 și a combina termenii similari.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Scădeți 7x^{2} din ambele părți.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Combinați -x^{2} cu -7x^{2} pentru a obține -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Adăugați 35x la ambele părți.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Combinați 9x cu 35x pentru a obține 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Adăugați 13 la ambele părți.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Adunați 42 și 13 pentru a obține 55.

$$44x-8x^{2}=55$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Se împart ambele părți la -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

Împărțirea la -8 anulează înmulțirea cu -8.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Reduceți fracția \frac{44}{-8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Împărțiți 55 la -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Împărțiți -\frac{11}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Adunați -\frac{55}{8} cu \frac{121}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Adunați \frac{11}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$