Rezolvați 5/x+6+2/x=2

$$\frac { 5 } { x + 6 } + \frac { 2 } { x } = 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x+6,x.

$$x\times 5+\left(x+6\right)\times 2=2x\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu 2.

$$x\times 5+2x+12=2x\left(x+6\right)$$

Combinați x\times 5 cu 2x pentru a obține 7x.

$$7x+12=2x\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x+6.

$$7x+12=2x^{2}+12x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$7x+12-2x^{2}=12x$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$7x+12-2x^{2}-12x=0$$

Combinați 7x cu -12x pentru a obține -5x.

$$-5x+12-2x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-2x^{2}-5x+12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -2x^{2}+ax+bx+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=-2\times 12=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=3 b=-8$$

Rescrieți -2x^{2}-5x+12 ca \left(-2x^{2}+3x\right)+\left(-8x+12\right).

$$\left(-2x^{2}+3x\right)+\left(-8x+12\right)$$

Factor -x în primul și -4 în al doilea grup.

$$-x\left(2x-3\right)-4\left(2x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(-x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-3=0 și -x-4=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x+6,x.

$$x\times 5+\left(x+6\right)\times 2=2x\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu 2.

$$x\times 5+2x+12=2x\left(x+6\right)$$

Combinați x\times 5 cu 2x pentru a obține 7x.

$$7x+12=2x\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x+6.

$$7x+12=2x^{2}+12x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$7x+12-2x^{2}=12x$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$7x+12-2x^{2}-12x=0$$

Combinați 7x cu -12x pentru a obține -5x.

$$-5x+12-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}-5x+12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu -5 și c cu 12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 12}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-2\right)\times 12}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+8\times 12}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 25 cu 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\left(-2\right)}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±11}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{5±11}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±11}{-4} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 11.

$$x=\frac{16}{-4}$$

Împărțiți 16 la -4.

$$x=-4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±11}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 5.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-4 x=\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x+6,x.

$$x\times 5+\left(x+6\right)\times 2=2x\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu 2.

$$x\times 5+2x+12=2x\left(x+6\right)$$

Combinați x\times 5 cu 2x pentru a obține 7x.

$$7x+12=2x\left(x+6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x+6.

$$7x+12=2x^{2}+12x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$7x+12-2x^{2}=12x$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$7x+12-2x^{2}-12x=0$$

Combinați 7x cu -12x pentru a obține -5x.

$$-5x+12-2x^{2}=0$$

Scădeți 12 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-5x-2x^{2}=-12$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-5x=-12$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}-5x}{-2}=-\frac{12}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-2}\right)x=-\frac{12}{-2}$$

Împărțiți -5 la -2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=-\frac{12}{-2}$$

Împărțiți -12 la -2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=6$$

Împărțiți \frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Adunați 6 cu \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Scădeți \frac{5}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$