Rezolvați 4x-1/x=3x

$$\frac { 4 x - 1 } { x } = 3 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x.

$$4x-1=3xx$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$4x-1=3x^{2}$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x-1-3x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=3 b=1$$

Rescrieți -3x^{2}+4x-1 ca \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

Factor 3x în primul și -1 în al doilea grup.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x.

$$4x-1=3xx$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$4x-1=3x^{2}$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x-1-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 4 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 16 cu -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-4±2}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 2.

$$x=-\frac{2}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din -4.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Împărțiți -6 la -6.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x.

$$4x-1=3xx$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$4x-1=3x^{2}$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x-1-3x^{2}=0$$

Adăugați 1 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$4x-3x^{2}=1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x=1$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Împărțiți 4 la -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Împărțiți 1 la -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$