Rezolvați frac{4(1+sqrt{2})(1-sqrt{2})}{3+2sqrt{2}}

$$\frac { 4 ( 1 + \sqrt { 2 } ) ( 1 - \sqrt { 2 } ) } { 3 + 2 \sqrt { 2 } }$$

Evaluați

$$4\left(2\sqrt{2}-3\right)\approx -0,686291501$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}{3+2\sqrt{2}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 3-2\sqrt{2}.

$$\frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}{\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}$$

Să luăm \left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$\frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}{9-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Extindeți \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}{9-2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}{9-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}{9-4\times 2}$$

Înmulțiți 4 cu 2 pentru a obține 8.

$$\frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}{9-8}$$

Scădeți 8 din 9 pentru a obține 1.

$$\frac{4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}{1}$$

Orice lucru împărțit la unu este egal cu sine însuși.

$$4\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 1+\sqrt{2}.

$$\left(4+4\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 4+4\sqrt{2} la fiecare termen de 1-\sqrt{2}.

$$\left(4-4\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)$$

Combinați -4\sqrt{2} cu 4\sqrt{2} pentru a obține 0.

$$\left(4-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)$$

Pătratul lui \sqrt{2} este 2.

$$\left(4-4\times 2\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)$$

Înmulțiți -4 cu 2 pentru a obține -8.

$$\left(4-8\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)$$

Scădeți 8 din 4 pentru a obține -4.

$$-4\left(3-2\sqrt{2}\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu 3-2\sqrt{2}.

$$-12+8\sqrt{2}$$