Rezolvați 4/x-1+2/x+1=3

$$\frac { 4 } { x - 1 } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1\approx 2,632993162$$

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1\approx -0,632993162$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 4.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2.

$$4x+4+2x-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 4x cu 2x pentru a obține 6x.

$$6x+4-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 2 din 4 pentru a obține 2.

$$6x+2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-1.

$$6x+2=\left(3x-3\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-3 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x+2=3x^{2}-3$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$6x+2-3x^{2}=-3$$

Adăugați 3 la ambele părți.

$$6x+2-3x^{2}+3=0$$

Adunați 2 și 3 pentru a obține 5.

$$6x+5-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+6x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 6 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+60}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 36 cu 60.

$$x=\frac{-6±\sqrt{96}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 96.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-6}{-6}$$

Împărțiți -6+4\sqrt{6} la -6.

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±4\sqrt{6}}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{6} din -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-6}{-6}$$

Împărțiți -6-4\sqrt{6} la -6.

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1 x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-1\right)\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 4.

$$4x+4+\left(x-1\right)\times 2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 2.

$$4x+4+2x-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Combinați 4x cu 2x pentru a obține 6x.

$$6x+4-2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Scădeți 2 din 4 pentru a obține 2.

$$6x+2=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu x-1.

$$6x+2=\left(3x-3\right)\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-3 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$6x+2=3x^{2}-3$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$6x+2-3x^{2}=-3$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$6x-3x^{2}=-3-2$$

Scădeți 2 din -3 pentru a obține -5.

$$6x-3x^{2}=-5$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+6x=-5$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+6x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{6}{-3}x=-\frac{5}{-3}$$

Împărțiți 6 la -3.

$$x^{2}-2x=-\frac{5}{-3}$$

Împărțiți -5 la -3.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{3}$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{3}+1$$

Adunați \frac{5}{3} cu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{8}{3}$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{8}{3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{3}}$$

Simplificați.

$$x-1=\frac{2\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}+1$$