Rezolvați 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

$$x=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,6, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-6\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-6 cu 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combinați 4x cu x\times 4 pentru a obține 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Adăugați 6x la ambele părți.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combinați 8x cu 6x pentru a obține 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=12 b=2$$

Rescrieți -x^{2}+14x-24 ca \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Factor -x în primul și 2 în al doilea grup.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,6, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-6\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-6 cu 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combinați 4x cu x\times 4 pentru a obține 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Adăugați 6x la ambele părți.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combinați 8x cu 6x pentru a obține 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 14 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 14 la pătrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 196 cu -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±10}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -14 cu 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±10}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Împărțiți -24 la -2.

$$x=12$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=12$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,6, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-6\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-6 cu 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Combinați 4x cu x\times 4 pentru a obține 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Adăugați 6x la ambele părți.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Combinați 8x cu 6x pentru a obține 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Adăugați 24 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$14x-x^{2}=24$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Împărțiți 14 la -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Împărțiți 24 la -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Împărțiți -14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -7. Apoi, adunați pătratul lui -7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Adunați -24 cu 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Factor x^{2}-14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplificați.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=2$$