Rezolvați 4/x^2-1+15+7x/x^4-5x^2+4=2/4-x^2

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } - 1 } + \frac { 15 + 7 x } { x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 } = \frac { 2 } { 4 - x ^ { 2 } }$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-4 cu 4.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Adunați -16 și 15 pentru a obține -1.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x^{2}+1 cu 2.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Adăugați 2x^{2} la ambele părți.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Combinați 4x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$6x^{2}-1+7x-2=0$$

Scădeți 2 din -1 pentru a obține -3.

$$6x^{2}-3+7x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$6x^{2}+7x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=-2 b=9$$

Rescrieți 6x^{2}+7x-3 ca \left(6x^{2}-2x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(9x-3\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-1=0 și 2x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-4 cu 4.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Adunați -16 și 15 pentru a obține -1.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x^{2}+1 cu 2.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Adăugați 2x^{2} la ambele părți.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Combinați 4x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$6x^{2}-1+7x-2=0$$

Scădeți 2 din -1 pentru a obține -3.

$$6x^{2}-3+7x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}+7x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 7 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Adunați 49 cu 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-7±11}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±11}{12} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 11.

$$x=\frac{4}{12}$$

Reduceți fracția \frac{4}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±11}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -7.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-4 cu 4.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Adunați -16 și 15 pentru a obține -1.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -x^{2}+1 cu 2.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Adăugați 2x^{2} la ambele părți.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Combinați 4x^{2} cu 2x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$6x^{2}+7x=2+1$$

Adunați 2 și 1 pentru a obține 3.

$$6x^{2}+7x=3$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Reduceți fracția \frac{3}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți \frac{7}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{49}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Scădeți \frac{7}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$