Rezolvați 4/x+3+3/2x-1=1

$$\frac { 4 } { x + 3 } + \frac { 3 } { 2 x - 1 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(2x-1\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x+3,2x-1.

$$\left(2x-1\right)\times 4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-1 cu 4.

$$8x-4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu 3.

$$8x-4+3x+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Combinați 8x cu 3x pentru a obține 11x.

$$11x-4+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Adunați -4 și 9 pentru a obține 5.

$$11x+5=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-1 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$11x+5=2x^{2}+5x-3$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$11x+5-2x^{2}=5x-3$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$11x+5-2x^{2}-5x=-3$$

Combinați 11x cu -5x pentru a obține 6x.

$$6x+5-2x^{2}=-3$$

Adăugați 3 la ambele părți.

$$6x+5-2x^{2}+3=0$$

Adunați 5 și 3 pentru a obține 8.

$$6x+8-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+6x+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 6 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+64}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 36 cu 64.

$$x=\frac{-6±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-6±10}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-6±10}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±10}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 10.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Împărțiți 4 la -4.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±10}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -6.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Împărțiți -16 la -4.

$$x=4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=4$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(2x-1\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x+3,2x-1.

$$\left(2x-1\right)\times 4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-1 cu 4.

$$8x-4+\left(x+3\right)\times 3=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu 3.

$$8x-4+3x+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Combinați 8x cu 3x pentru a obține 11x.

$$11x-4+9=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Adunați -4 și 9 pentru a obține 5.

$$11x+5=\left(2x-1\right)\left(x+3\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-1 cu x+3 și a combina termenii similari.

$$11x+5=2x^{2}+5x-3$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$11x+5-2x^{2}=5x-3$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$11x+5-2x^{2}-5x=-3$$

Combinați 11x cu -5x pentru a obține 6x.

$$6x+5-2x^{2}=-3$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$6x-2x^{2}=-3-5$$

Scădeți 5 din -3 pentru a obține -8.

$$6x-2x^{2}=-8$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+6x=-8$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+6x}{-2}=-\frac{8}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{6}{-2}x=-\frac{8}{-2}$$

Împărțiți 6 la -2.

$$x^{2}-3x=-\frac{8}{-2}$$

Împărțiți -8 la -2.

$$x^{2}-3x=4$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Adunați 4 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-1$$