Rezolvați 360/x-360/x+5=1

$$\frac { 360 } { x } - \frac { 360 } { x + 5 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-45$$

$$x=40$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 360-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 360.

$$360x+1800-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+5.

$$360x+1800-x\times 360=x^{2}+5x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}=5x$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}-5x=0$$

Combinați 360x cu -5x pentru a obține 355x.

$$355x+1800-x\times 360-x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 360 pentru a obține -360.

$$355x+1800-360x-x^{2}=0$$

Combinați 355x cu -360x pentru a obține -5x.

$$-5x+1800-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-5x+1800=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+1800. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=-1800=-1800$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1800.

$$1,-1800 2,-900 3,-600 4,-450 5,-360 6,-300 8,-225 9,-200 10,-180 12,-150 15,-120 18,-100 20,-90 24,-75 25,-72 30,-60 36,-50 40,-45$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-1800=-1799 2-900=-898 3-600=-597 4-450=-446 5-360=-355 6-300=-294 8-225=-217 9-200=-191 10-180=-170 12-150=-138 15-120=-105 18-100=-82 20-90=-70 24-75=-51 25-72=-47 30-60=-30 36-50=-14 40-45=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=40 b=-45$$

Rescrieți -x^{2}-5x+1800 ca \left(-x^{2}+40x\right)+\left(-45x+1800\right).

$$\left(-x^{2}+40x\right)+\left(-45x+1800\right)$$

Factor x în primul și 45 în al doilea grup.

$$x\left(-x+40\right)+45\left(-x+40\right)$$

Scoateți termenul comun -x+40 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+40\right)\left(x+45\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+40=0 și x+45=0.

$$x=40 x=-45$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 360-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 360.

$$360x+1800-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+5.

$$360x+1800-x\times 360=x^{2}+5x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}=5x$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}-5x=0$$

Combinați 360x cu -5x pentru a obține 355x.

$$355x+1800-x\times 360-x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 360 pentru a obține -360.

$$355x+1800-360x-x^{2}=0$$

Combinați 355x cu -360x pentru a obține -5x.

$$-5x+1800-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-5x+1800=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -5 și c cu 1800 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 1800}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 1800}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 1800}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 1800.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+7200}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 25 cu 7200.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7225}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 7225.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±85}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±85}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{5±85}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±85}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 85.

$$x=\frac{90}{-2}$$

Împărțiți 90 la -2.

$$x=-45$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±85}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 85 din 5.

$$x=-\frac{80}{-2}$$

Împărțiți -80 la -2.

$$x=40$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-45 x=40$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -5,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+5\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 360-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+5 cu 360.

$$360x+1800-x\times 360=x\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+5.

$$360x+1800-x\times 360=x^{2}+5x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}=5x$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$360x+1800-x\times 360-x^{2}-5x=0$$

Combinați 360x cu -5x pentru a obține 355x.

$$355x+1800-x\times 360-x^{2}=0$$

Scădeți 1800 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$355x-x\times 360-x^{2}=-1800$$

Înmulțiți -1 cu 360 pentru a obține -360.

$$355x-360x-x^{2}=-1800$$

Combinați 355x cu -360x pentru a obține -5x.

$$-5x-x^{2}=-1800$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-5x=-1800$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{1800}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{1800}{-1}$$

Împărțiți -5 la -1.

$$x^{2}+5x=-\frac{1800}{-1}$$

Împărțiți -1800 la -1.

$$x^{2}+5x=1800$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=1800+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=1800+\frac{25}{4}$$

Adunați 1800 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{7225}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{7225}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7225}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{85}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{85}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=40 x=-45$$