Rezolvați 36/x(x-12)-3/x-12=3

$$\frac { 36 } { x ( x - 12 ) } - \frac { 3 } { x - 12 } = 3$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,12, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-12\right), cel mai mic multiplu comun al x\left(x-12\right),x-12.

$$36-x\times 3=3x\left(x-12\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x cu x-12.

$$36-x\times 3=3x^{2}-36x$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$36-x\times 3-3x^{2}=-36x$$

Adăugați 36x la ambele părți.

$$36-x\times 3-3x^{2}+36x=0$$

Înmulțiți -1 cu 3 pentru a obține -3.

$$36-3x-3x^{2}+36x=0$$

Combinați -3x cu 36x pentru a obține 33x.

$$36+33x-3x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$12+11x-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=12 b=-1$$

Rescrieți -x^{2}+11x+12 ca \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 12.

$$x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,12, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-12\right), cel mai mic multiplu comun al x\left(x-12\right),x-12.

$$36-x\times 3=3x\left(x-12\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x cu x-12.

$$36-x\times 3=3x^{2}-36x$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$36-x\times 3-3x^{2}=-36x$$

Adăugați 36x la ambele părți.

$$36-x\times 3-3x^{2}+36x=0$$

Înmulțiți -1 cu 3 pentru a obține -3.

$$36-3x-3x^{2}+36x=0$$

Combinați -3x cu 36x pentru a obține 33x.

$$36+33x-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+33x+36=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 33 și c cu 36 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-3\right)\times 36}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 33 la pătrat.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-3\right)\times 36}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12\times 36}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 36.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+432}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 1089 cu 432.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1521}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1521.

$$x=\frac{-33±39}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-33±39}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-33±39}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -33 cu 39.

$$x=\frac{6}{-6}$$

Împărțiți 6 la -6.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-33±39}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 39 din -33.

$$x=-\frac{72}{-6}$$

Împărțiți -72 la -6.

$$x=12$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=12$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 12.

$$x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,12, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-12\right), cel mai mic multiplu comun al x\left(x-12\right),x-12.

$$36-x\times 3=3x\left(x-12\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x cu x-12.

$$36-x\times 3=3x^{2}-36x$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$36-x\times 3-3x^{2}=-36x$$

Adăugați 36x la ambele părți.

$$36-x\times 3-3x^{2}+36x=0$$

Scădeți 36 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-x\times 3-3x^{2}+36x=-36$$

Înmulțiți -1 cu 3 pentru a obține -3.

$$-3x-3x^{2}+36x=-36$$

Combinați -3x cu 36x pentru a obține 33x.

$$33x-3x^{2}=-36$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+33x=-36$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+33x}{-3}=-\frac{36}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{33}{-3}x=-\frac{36}{-3}$$

Împărțiți 33 la -3.

$$x^{2}-11x=-\frac{36}{-3}$$

Împărțiți -36 la -3.

$$x^{2}-11x=12$$

Împărțiți -11, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Adunați 12 cu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Factor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adunați \frac{11}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=-1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 12.

$$x=-1$$