Rezolvați 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,-2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+3x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combinați -x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combinați -3x cu -5x pentru a obține -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Scădeți 2 din 30 pentru a obține 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+28. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=6 b=-14$$

Rescrieți -3x^{2}-8x+28 ca \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Factor 3x în primul și 14 în al doilea grup.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Scoateți termenul comun -x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+2=0 și 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,-2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+3x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combinați -x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combinați -3x cu -5x pentru a obține -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Scădeți 2 din 30 pentru a obține 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu -8 și c cu 28 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 64 cu 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±20}{-6} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{28}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±20}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 20 din 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Împărțiți -12 la -6.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,-2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+2\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+3 cu x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui x^{2}+3x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 2x+1 și a combina termenii similari.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combinați -x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combinați -3x cu -5x pentru a obține -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Scădeți 30 din ambele părți.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Scădeți 30 din 2 pentru a obține -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Împărțiți -8 la -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Împărțiți -28 la -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Împărțiți \frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Adunați \frac{28}{3} cu \frac{16}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Scădeți \frac{4}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$