Rezolvați 3x/x-1-4/x=3/x^2-x

$$\frac { 3 x } { x - 1 } - \frac { 4 } { x } = \frac { 3 } { x ^ { 2 } - x }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x,x^{2}-x.

$$x\times 3x-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}\times 3-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 4.

$$x^{2}\times 3-\left(4x-4\right)=3$$

Pentru a găsi opusul lui 4x-4, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}\times 3-4x+4=3$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$x^{2}\times 3-4x+4-3=0$$

Scădeți 3 din 4 pentru a obține 1.

$$x^{2}\times 3-4x+1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=3\times 1=3$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-3 b=-1$$

Rescrieți 3x^{2}-4x+1 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Factor 3x în primul și -1 în al doilea grup.

$$3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x,x^{2}-x.

$$x\times 3x-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}\times 3-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 4.

$$x^{2}\times 3-\left(4x-4\right)=3$$

Pentru a găsi opusul lui 4x-4, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}\times 3-4x+4=3$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$x^{2}\times 3-4x+4-3=0$$

Scădeți 3 din 4 pentru a obține 1.

$$x^{2}\times 3-4x+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -4 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Adunați 16 cu -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\times 3}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±2}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{4±2}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2}{6} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 2.

$$x=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±2}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 4.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x-1,x,x^{2}-x.

$$x\times 3x-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}\times 3-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 4.

$$x^{2}\times 3-\left(4x-4\right)=3$$

Pentru a găsi opusul lui 4x-4, găsiți opusul fiecărui termen.

$$x^{2}\times 3-4x+4=3$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$x^{2}\times 3-4x=3-4$$

Scădeți 4 din 3 pentru a obține -1.

$$x^{2}\times 3-4x=-1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x=-1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 1.

$$x=\frac{1}{3}$$