Rezolvați 3x/2x+1=x-19/2x^2+3x+1+x+5/x+1

$$\frac { 3 x } { 2 x + 1 } = \frac { x - 19 } { 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 } + \frac { x + 5 } { x + 1 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=2$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,-\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,2x^{2}+3x+1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 3.

$$\left(3x+3\right)x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+3 cu x.

$$3x^{2}+3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+1 cu x+5 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}+3x=x-19+2x^{2}+11x+5$$

Combinați x cu 11x pentru a obține 12x.

$$3x^{2}+3x=12x-19+2x^{2}+5$$

Adunați -19 și 5 pentru a obține -14.

$$3x^{2}+3x=12x-14+2x^{2}$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$3x^{2}+3x-12x=-14+2x^{2}$$

Combinați 3x cu -12x pentru a obține -9x.

$$3x^{2}-9x=-14+2x^{2}$$

Scădeți -14 din ambele părți.

$$3x^{2}-9x-\left(-14\right)=2x^{2}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$3x^{2}-9x+14=2x^{2}$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-9x+14-2x^{2}=0$$

Combinați 3x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-9x+14=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-9x+14 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=14$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-7 b=-2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-7\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x-2=0.

$$x=7 x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,-\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,2x^{2}+3x+1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 3.

$$\left(3x+3\right)x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+3 cu x.

$$3x^{2}+3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+1 cu x+5 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}+3x=x-19+2x^{2}+11x+5$$

Combinați x cu 11x pentru a obține 12x.

$$3x^{2}+3x=12x-19+2x^{2}+5$$

Adunați -19 și 5 pentru a obține -14.

$$3x^{2}+3x=12x-14+2x^{2}$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$3x^{2}+3x-12x=-14+2x^{2}$$

Combinați 3x cu -12x pentru a obține -9x.

$$3x^{2}-9x=-14+2x^{2}$$

Scădeți -14 din ambele părți.

$$3x^{2}-9x-\left(-14\right)=2x^{2}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$3x^{2}-9x+14=2x^{2}$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-9x+14-2x^{2}=0$$

Combinați 3x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-9x+14=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+14. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=1\times 14=14$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-7 b=-2$$

Rescrieți x^{2}-9x+14 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(-2x+14\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-2x+14\right)$$

Factor x în primul și -2 în al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)-2\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x-2=0.

$$x=7 x=2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,-\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,2x^{2}+3x+1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 3.

$$\left(3x+3\right)x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+3 cu x.

$$3x^{2}+3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+1 cu x+5 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}+3x=x-19+2x^{2}+11x+5$$

Combinați x cu 11x pentru a obține 12x.

$$3x^{2}+3x=12x-19+2x^{2}+5$$

Adunați -19 și 5 pentru a obține -14.

$$3x^{2}+3x=12x-14+2x^{2}$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$3x^{2}+3x-12x=-14+2x^{2}$$

Combinați 3x cu -12x pentru a obține -9x.

$$3x^{2}-9x=-14+2x^{2}$$

Scădeți -14 din ambele părți.

$$3x^{2}-9x-\left(-14\right)=2x^{2}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$3x^{2}-9x+14=2x^{2}$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-9x+14-2x^{2}=0$$

Combinați 3x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-9x+14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -9 și c cu 14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 14}}{2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 14}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-56}}{2}$$

Adunați 81 cu -56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±5}{2}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±5}{2} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 5.

$$x=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±5}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 9.

$$x=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=2$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,-\frac{1}{2}, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x+1\right)\left(2x+1\right), cel mai mic multiplu comun al 2x+1,2x^{2}+3x+1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 3.

$$\left(3x+3\right)x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x+3 cu x.

$$3x^{2}+3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x+1 cu x+5 și a combina termenii similari.

$$3x^{2}+3x=x-19+2x^{2}+11x+5$$

Combinați x cu 11x pentru a obține 12x.

$$3x^{2}+3x=12x-19+2x^{2}+5$$

Adunați -19 și 5 pentru a obține -14.

$$3x^{2}+3x=12x-14+2x^{2}$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$3x^{2}+3x-12x=-14+2x^{2}$$

Combinați 3x cu -12x pentru a obține -9x.

$$3x^{2}-9x=-14+2x^{2}$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-9x-2x^{2}=-14$$

Combinați 3x^{2} cu -2x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-9x=-14$$

Împărțiți -9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}$$

Adunați -14 cu \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adunați \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=2$$