Rezolvați 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Pași folosind substituirea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$3x+2y=22$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x+y=14$$

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$3x+2y=22$$

Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.

$$3x=-2y+22$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{3} cu -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Înlocuiți x cu \frac{-2y+22}{3} în cealaltă ecuație, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Înmulțiți 2 cu \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Adunați -\frac{4y}{3} cu y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Scădeți \frac{44}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Se înmulțesc ambele părți cu -3.

$$y=2$$

Înlocuiți y cu 2 în x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Înmulțiți -\frac{2}{3} cu 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Adunați \frac{22}{3} cu -\frac{4}{3} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=6$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=6,y=2$$

Pași folosind matrice

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$3x+2y=22$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x+y=14$$

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=6,y=2$$

Pași folosind eliminarea

Luați în considerare prima ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$3x+2y=22$$

Luați în considerare a doua ecuație. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$2x+y=14$$

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Pentru a egala 3x și 2x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 2 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Simplificați.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Scădeți pe 6x+3y=42 din 6x+4y=44 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Adunați 6x cu -6x. Termenii 6x și -6x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$4y-3y=44-42$$

Adunați 4y cu -3y.

$$y=44-42$$

Adunați 44 cu -42.

$$y=2$$

Înlocuiți y cu 2 în 2x+y=14. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$2x+2=14$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$2x=12$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x=6$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=6,y=2$$