Rezolvați 3x^2-8x+4/x-2=5x+8

$$\frac { 3 x ^ { 2 } - 8 x + 4 } { x - 2 } = 5 x + 8$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu 2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-2.

$$3x^{2}-8x+4=5x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\times 8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x cu x-2.

$$3x^{2}-8x+4=5x^{2}-10x+\left(x-2\right)\times 8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 8.

$$3x^{2}-8x+4=5x^{2}-10x+8x-16$$

Combinați -10x cu 8x pentru a obține -2x.

$$3x^{2}-8x+4=5x^{2}-2x-16$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-8x+4-5x^{2}=-2x-16$$

Combinați 3x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -2x^{2}.

$$-2x^{2}-8x+4=-2x-16$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$-2x^{2}-8x+4+2x=-16$$

Combinați -8x cu 2x pentru a obține -6x.

$$-2x^{2}-6x+4=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$-2x^{2}-6x+4+16=0$$

Adunați 4 și 16 pentru a obține 20.

$$-2x^{2}-6x+20=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$-x^{2}-3x+10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=-10=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=2 b=-5$$

Rescrieți -x^{2}-3x+10 ca \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-5x+10\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-5x+10\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(-x+2\right)+5\left(-x+2\right)$$

Scoateți termenul comun -x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+2\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+2=0 și x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-2.

$$3x^{2}-8x+4=5x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\times 8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x cu x-2.

$$3x^{2}-8x+4=5x^{2}-10x+\left(x-2\right)\times 8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 8.

$$3x^{2}-8x+4=5x^{2}-10x+8x-16$$

Combinați -10x cu 8x pentru a obține -2x.

$$3x^{2}-8x+4=5x^{2}-2x-16$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-8x+4-5x^{2}=-2x-16$$

Combinați 3x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -2x^{2}.

$$-2x^{2}-8x+4=-2x-16$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$-2x^{2}-8x+4+2x=-16$$

Combinați -8x cu 2x pentru a obține -6x.

$$-2x^{2}-6x+4=-16$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$-2x^{2}-6x+4+16=0$$

Adunați 4 și 16 pentru a obține 20.

$$-2x^{2}-6x+20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu -6 și c cu 20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+8\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+160}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 36 cu 160.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{196}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±14}{2\left(-2\right)}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$x=\frac{6±14}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{6±14}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±14}{-4} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 14.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Împărțiți 20 la -4.

$$x=-5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{6±14}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din 6.

$$x=-\frac{8}{-4}$$

Împărțiți -8 la -4.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-5 x=2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-2.

$$3x^{2}-8x+4=5x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)\times 8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 5x cu x-2.

$$3x^{2}-8x+4=5x^{2}-10x+\left(x-2\right)\times 8$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 8.

$$3x^{2}-8x+4=5x^{2}-10x+8x-16$$

Combinați -10x cu 8x pentru a obține -2x.

$$3x^{2}-8x+4=5x^{2}-2x-16$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}-8x+4-5x^{2}=-2x-16$$

Combinați 3x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține -2x^{2}.

$$-2x^{2}-8x+4=-2x-16$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$-2x^{2}-8x+4+2x=-16$$

Combinați -8x cu 2x pentru a obține -6x.

$$-2x^{2}-6x+4=-16$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$-2x^{2}-6x=-16-4$$

Scădeți 4 din -16 pentru a obține -20.

$$-2x^{2}-6x=-20$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}-6x}{-2}=-\frac{20}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{-2}\right)x=-\frac{20}{-2}$$

Împărțiți -6 la -2.

$$x^{2}+3x=-\frac{20}{-2}$$

Împărțiți -20 la -2.

$$x^{2}+3x=10$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Adunați 10 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-5$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=-5$$