Rezolvați 3x+2/9-x^2=5x+1/x+3-1/3-x

$$\frac { 3 x + 2 } { 9 - x ^ { 2 } } = \frac { 5 x + 1 } { x + 3 } - \frac { 1 } { 3 - x }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 1,774596669$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 0,225403331$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Pentru a găsi opusul lui 3x+2, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 5x+1 și a combina termenii similari.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Adunați -3 și 3 pentru a obține 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Combinați -14x cu x pentru a obține -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Adăugați 13x la ambele părți.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Combinați -3x cu 13x pentru a obține 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5x^{2}+10x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 10 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+20\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-40}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 100 cu -40.

$$x=\frac{-10±\sqrt{60}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 60.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Împărțiți -10+2\sqrt{15} la -10.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{15} din -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Împărțiți -10-2\sqrt{15} la -10.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -3,3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-3\right)\left(x+3\right), cel mai mic multiplu comun al 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Pentru a găsi opusul lui 3x+2, găsiți opusul fiecărui termen.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 5x+1 și a combina termenii similari.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Adunați -3 și 3 pentru a obține 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Combinați -14x cu x pentru a obține -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Adăugați 13x la ambele părți.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Combinați -3x cu 13x pentru a obține 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Adăugați 2 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$10x-5x^{2}=2$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+10x=2$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5x^{2}+10x}{-5}=\frac{2}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$x^{2}+\frac{10}{-5}x=\frac{2}{-5}$$

Împărțiți 10 la -5.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-5}$$

Împărțiți 2 la -5.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{5}$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{5}+1$$

Adunați -\frac{2}{5} cu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{3}{5}$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{3}{5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}$$

Simplificați.

$$x-1=\frac{\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{15}}{5}$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$