Rezolvați 3x+10/x-2[9x-4/3-3(x/2+7x-6/4)]=frac{7x+5}{2}

$$\frac { 3 x + 10 } { x } - 2 [ \frac { 9 x - 4 } { 3 } - 3 ( \frac { x } { 2 } + \frac { 7 x - 6 } { 4 } ) ] = \frac { 7 x + 5 } { 2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48}\approx 0,729166667+1,402966846i$$

$$x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}\approx 0,729166667-1,402966846i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 12x, cel mai mic multiplu comun al x,3,2,4.

$$12\left(3x+10\right)-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12 cu 3x+10.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui 2 și 4 este 4. Înmulțiți \frac{x}{2} cu \frac{2}{2}.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{2x}{4}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Deoarece \frac{2x}{4} și \frac{7x-6}{4} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{2x+7x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Combinați termeni similari în 2x+7x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{9x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Exprimați 3\times \frac{9x-6}{4} ca fracție unică.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{3\left(9x-6\right)}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 9x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{27x-18}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui 3 și 4 este 12. Înmulțiți \frac{9x-4}{3} cu \frac{4}{4}. Înmulțiți \frac{27x-18}{4} cu \frac{3}{3}.

$$36x+120-2\left(\frac{4\left(9x-4\right)}{12}-\frac{3\left(27x-18\right)}{12}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Deoarece \frac{4\left(9x-4\right)}{12} și \frac{3\left(27x-18\right)}{12} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$36x+120-2\times \frac{4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Faceți înmulțiri în 4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right).

$$36x+120-2\times \frac{36x-16-81x+54}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Combinați termeni similari în 36x-16-81x+54.

$$36x+120-2\times \frac{-45x+38}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Înmulțiți 2 cu 12 pentru a obține 24.

$$36x+120-24\times \frac{-45x+38}{12}x=6x\left(7x+5\right)$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 24 și 12.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=6x\left(7x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x cu 7x+5.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=42x^{2}+30x$$

Scădeți 42x^{2} din ambele părți.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}=30x$$

Scădeți 30x din ambele părți.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}-30x=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu -45x+38.

$$36x+120+\left(90x-76\right)x-42x^{2}-30x=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 90x-76 cu x.

$$36x+120+90x^{2}-76x-42x^{2}-30x=0$$

Combinați 36x cu -76x pentru a obține -40x.

$$-40x+120+90x^{2}-42x^{2}-30x=0$$

Combinați 90x^{2} cu -42x^{2} pentru a obține 48x^{2}.

$$-40x+120+48x^{2}-30x=0$$

Combinați -40x cu -30x pentru a obține -70x.

$$-70x+120+48x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$48x^{2}-70x+120=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 48, b cu -70 și c cu 120 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 48\times 120}}{2\times 48}$$

Ridicați -70 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 48\times 120}}{2\times 48}$$

Înmulțiți -4 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-192\times 120}}{2\times 48}$$

Înmulțiți -192 cu 120.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-23040}}{2\times 48}$$

Adunați 4900 cu -23040.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{-18140}}{2\times 48}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -18140.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±2\sqrt{4535}i}{2\times 48}$$

Opusul lui -70 este 70.

$$x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{2\times 48}$$

Înmulțiți 2 cu 48.

$$x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96} atunci când ± este plus. Adunați 70 cu 2i\sqrt{4535}.

$$x=\frac{70+2\sqrt{4535}i}{96}$$

Împărțiți 70+2i\sqrt{4535} la 96.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{4535} din 70.

$$x=\frac{-2\sqrt{4535}i+70}{96}$$

Împărțiți 70-2i\sqrt{4535} la 96.

$$x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48} x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 12x, cel mai mic multiplu comun al x,3,2,4.

$$12\left(3x+10\right)-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 12 cu 3x+10.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui 2 și 4 este 4. Înmulțiți \frac{x}{2} cu \frac{2}{2}.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{2x}{4}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Deoarece \frac{2x}{4} și \frac{7x-6}{4} au același numitor comun, adunați-le adunând numărătorii lor.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{2x+7x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Combinați termeni similari în 2x+7x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{9x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Exprimați 3\times \frac{9x-6}{4} ca fracție unică.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{3\left(9x-6\right)}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3 cu 9x-6.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{27x-18}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui 3 și 4 este 12. Înmulțiți \frac{9x-4}{3} cu \frac{4}{4}. Înmulțiți \frac{27x-18}{4} cu \frac{3}{3}.

$$36x+120-2\left(\frac{4\left(9x-4\right)}{12}-\frac{3\left(27x-18\right)}{12}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Deoarece \frac{4\left(9x-4\right)}{12} și \frac{3\left(27x-18\right)}{12} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$36x+120-2\times \frac{4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Faceți înmulțiri în 4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right).

$$36x+120-2\times \frac{36x-16-81x+54}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Combinați termeni similari în 36x-16-81x+54.

$$36x+120-2\times \frac{-45x+38}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

Înmulțiți 2 cu 12 pentru a obține 24.

$$36x+120-24\times \frac{-45x+38}{12}x=6x\left(7x+5\right)$$

Simplificați cu 12, cel mai mare factor comun din 24 și 12.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=6x\left(7x+5\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 6x cu 7x+5.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=42x^{2}+30x$$

Scădeți 42x^{2} din ambele părți.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}=30x$$

Scădeți 30x din ambele părți.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}-30x=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu -45x+38.

$$36x+120+\left(90x-76\right)x-42x^{2}-30x=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 90x-76 cu x.

$$36x+120+90x^{2}-76x-42x^{2}-30x=0$$

Combinați 36x cu -76x pentru a obține -40x.

$$-40x+120+90x^{2}-42x^{2}-30x=0$$

Combinați 90x^{2} cu -42x^{2} pentru a obține 48x^{2}.

$$-40x+120+48x^{2}-30x=0$$

Combinați -40x cu -30x pentru a obține -70x.

$$-70x+120+48x^{2}=0$$

Scădeți 120 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-70x+48x^{2}=-120$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$48x^{2}-70x=-120$$

Se împart ambele părți la 48.

$$\frac{48x^{2}-70x}{48}=-\frac{120}{48}$$

Împărțirea la 48 anulează înmulțirea cu 48.

$$x^{2}+\left(-\frac{70}{48}\right)x=-\frac{120}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-70}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x=-\frac{120}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-120}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 24.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x=-\frac{5}{2}$$

Împărțiți -\frac{35}{24}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{35}{48}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{35}{48} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\left(-\frac{35}{48}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{35}{48}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{35}{48} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}=-\frac{5}{2}+\frac{1225}{2304}$$

Adunați -\frac{5}{2} cu \frac{1225}{2304} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}=-\frac{4535}{2304}$$

Factorul x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{48}\right)^{2}=-\frac{4535}{2304}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{48}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4535}{2304}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{35}{48}=\frac{\sqrt{4535}i}{48} x-\frac{35}{48}=-\frac{\sqrt{4535}i}{48}$$

Adunați \frac{35}{48} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48} x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$