Rezolvați 3w(w+8)+w(w-4)/2-3=5-w^2

$$\frac { 3 w ( w + 8 ) + w ( w - 4 ) } { 2 } - 3 = 5 - w ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru w

$$w=-4$$

$$w=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3w cu w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți w cu w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Combinați 3w^{2} cu w^{2} pentru a obține 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Combinați 24w cu -4w pentru a obține 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Scădeți 10 din ambele părți.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Scădeți 10 din -6 pentru a obține -16.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Adăugați 2w^{2} la ambele părți.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Combinați 4w^{2} cu 2w^{2} pentru a obține 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$3w^{2}+10w-8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3w^{2}+aw+bw-8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=-2 b=12$$

Rescrieți 3w^{2}+10w-8 ca \left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right).

$$\left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right)$$

Factor w în primul și 4 în al doilea grup.

$$w\left(3w-2\right)+4\left(3w-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3w-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3w-2\right)\left(w+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3w-2=0 și w+4=0.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3w cu w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți w cu w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Combinați 3w^{2} cu w^{2} pentru a obține 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Combinați 24w cu -4w pentru a obține 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Scădeți 10 din ambele părți.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Scădeți 10 din -6 pentru a obține -16.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Adăugați 2w^{2} la ambele părți.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Combinați 4w^{2} cu 2w^{2} pentru a obține 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 20 și c cu -16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-24\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -16.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 6}$$

Adunați 400 cu 384.

$$w=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 784.

$$w=\frac{-20±28}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$w=\frac{-20±28}{12}$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{-20±28}{12} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 28.

$$w=\frac{8}{12}$$

Reduceți fracția \frac{8}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$w=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația w=\frac{-20±28}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 28 din -20.

$$w=-\frac{48}{12}$$

Împărțiți -48 la 12.

$$w=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3w cu w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți w cu w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Combinați 3w^{2} cu w^{2} pentru a obține 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Combinați 24w cu -4w pentru a obține 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Adăugați 2w^{2} la ambele părți.

$$4w^{2}+20w-6+2w^{2}=10$$

Combinați 4w^{2} cu 2w^{2} pentru a obține 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-6=10$$

Adăugați 6 la ambele părți.

$$6w^{2}+20w=10+6$$

Adunați 10 și 6 pentru a obține 16.

$$6w^{2}+20w=16$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6w^{2}+20w}{6}=\frac{16}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$w^{2}+\frac{20}{6}w=\frac{16}{6}$$

Reduceți fracția \frac{20}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{16}{6}$$

Reduceți fracția \frac{16}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{8}{3}$$

Împărțiți \frac{10}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Adunați \frac{8}{3} cu \frac{25}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplificați.

$$w+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} w+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Scădeți \frac{5}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$