Rezolvați 3-x/3x-1-x-1/x-2=-2

$$\frac { 3 - x } { 3 x - 1 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = - 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile \frac{1}{3},2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(3x-1\right), cel mai mic multiplu comun al 3x-1,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(3-x\right)-\left(3x-1\right)\left(x-1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 3-x și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6-\left(3x-1\right)\left(x-1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-1 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6-\left(3x^{2}-4x+1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 3x^{2}-4x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$5x-x^{2}-6-3x^{2}+4x-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Combinați -x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține -4x^{2}.

$$5x-4x^{2}-6+4x-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Combinați 5x cu 4x pentru a obține 9x.

$$9x-4x^{2}-6-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Scădeți 1 din -6 pentru a obține -7.

$$9x-4x^{2}-7=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu x-2.

$$9x-4x^{2}-7=\left(-2x+4\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2x+4 cu 3x-1 și a combina termenii similari.

$$9x-4x^{2}-7=-6x^{2}+14x-4$$

Adăugați 6x^{2} la ambele părți.

$$9x-4x^{2}-7+6x^{2}=14x-4$$

Combinați -4x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$9x+2x^{2}-7=14x-4$$

Scădeți 14x din ambele părți.

$$9x+2x^{2}-7-14x=-4$$

Combinați 9x cu -14x pentru a obține -5x.

$$-5x+2x^{2}-7=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$-5x+2x^{2}-7+4=0$$

Adunați -7 și 4 pentru a obține -3.

$$-5x+2x^{2}-3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -5 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

Adunați 25 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{5±7}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±7}{4} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 7.

$$x=\frac{12}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±7}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 5.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile \frac{1}{3},2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(3x-1\right), cel mai mic multiplu comun al 3x-1,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(3-x\right)-\left(3x-1\right)\left(x-1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 3-x și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6-\left(3x-1\right)\left(x-1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x-1 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$5x-x^{2}-6-\left(3x^{2}-4x+1\right)=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 3x^{2}-4x+1, găsiți opusul fiecărui termen.

$$5x-x^{2}-6-3x^{2}+4x-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Combinați -x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține -4x^{2}.

$$5x-4x^{2}-6+4x-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Combinați 5x cu 4x pentru a obține 9x.

$$9x-4x^{2}-6-1=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Scădeți 1 din -6 pentru a obține -7.

$$9x-4x^{2}-7=-2\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2 cu x-2.

$$9x-4x^{2}-7=\left(-2x+4\right)\left(3x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -2x+4 cu 3x-1 și a combina termenii similari.

$$9x-4x^{2}-7=-6x^{2}+14x-4$$

Adăugați 6x^{2} la ambele părți.

$$9x-4x^{2}-7+6x^{2}=14x-4$$

Combinați -4x^{2} cu 6x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$9x+2x^{2}-7=14x-4$$

Scădeți 14x din ambele părți.

$$9x+2x^{2}-7-14x=-4$$

Combinați 9x cu -14x pentru a obține -5x.

$$-5x+2x^{2}-7=-4$$

Adăugați 7 la ambele părți.

$$-5x+2x^{2}=-4+7$$

Adunați -4 și 7 pentru a obține 3.

$$-5x+2x^{2}=3$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x=3$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{3}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Adunați \frac{3}{2} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adunați \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$