Rezolvați frac{3-2sqrt{5}}{2+5sqrt{3}}

$$\frac { 3 - 2 \sqrt { 5 } } { 2 + 5 \sqrt { 3 } }$$

Evaluați

$$\frac{4\sqrt{5}+15\sqrt{3}-10\sqrt{15}-6}{71}\approx -0,138095767$$

Pașii soluției

Raționalizați numitor de \frac{3-2\sqrt{5}}{2+5\sqrt{3}} prin înmulțirea numărătorului și a numitorului de către 2-5\sqrt{3}.

$$\frac{\left(3-2\sqrt{5}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right)}{\left(2+5\sqrt{3}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right)}$$

Să luăm \left(2+5\sqrt{3}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(3-2\sqrt{5}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$\frac{\left(3-2\sqrt{5}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right)}{4-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Extindeți \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(3-2\sqrt{5}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right)}{4-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculați 5 la puterea 2 și obțineți 25.

$$\frac{\left(3-2\sqrt{5}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right)}{4-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Pătratul lui \sqrt{3} este 3.

$$\frac{\left(3-2\sqrt{5}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right)}{4-25\times 3}$$

Înmulțiți 25 cu 3 pentru a obține 75.

$$\frac{\left(3-2\sqrt{5}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right)}{4-75}$$

Scădeți 75 din 4 pentru a obține -71.

$$\frac{\left(3-2\sqrt{5}\right)\left(2-5\sqrt{3}\right)}{-71}$$

Aplicați proprietatea distributivă prin înmulțirea fiecărui termen de 3-2\sqrt{5} la fiecare termen de 2-5\sqrt{3}.

$$\frac{6-15\sqrt{3}-4\sqrt{5}+10\sqrt{3}\sqrt{5}}{-71}$$

Pentru a înmulțiți \sqrt{3} și \sqrt{5}, înmulțiți numerele de sub rădăcina pătrată.

$$\frac{6-15\sqrt{3}-4\sqrt{5}+10\sqrt{15}}{-71}$$

Înmulțiți numărătorul și numitorul cu -1.

$$\frac{-6+15\sqrt{3}+4\sqrt{5}-10\sqrt{15}}{71}$$