Rezolvați 3/x-2-10/x+2=1

$$\frac { 3 } { x - 2 } - \frac { 10 } { x + 2 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-10$$

$$x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 3.

$$3x+6-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 10.

$$3x+6-\left(10x-20\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 10x-20, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x+6-10x+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Combinați 3x cu -10x pentru a obține -7x.

$$-7x+6+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Adunați 6 și 20 pentru a obține 26.

$$-7x+26=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$-7x+26=x^{2}-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-7x+26-x^{2}=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$-7x+26-x^{2}+4=0$$

Adunați 26 și 4 pentru a obține 30.

$$-7x+30-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-7x+30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -7 și c cu 30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 49 cu 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±13}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{7±13}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±13}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 13.

$$x=\frac{20}{-2}$$

Împărțiți 20 la -2.

$$x=-10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±13}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Împărțiți -6 la -2.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-10 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x-2,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 3.

$$3x+6-\left(x-2\right)\times 10=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 10.

$$3x+6-\left(10x-20\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 10x-20, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x+6-10x+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Combinați 3x cu -10x pentru a obține -7x.

$$-7x+6+20=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Adunați 6 și 20 pentru a obține 26.

$$-7x+26=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Să luăm \left(x-2\right)\left(x+2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$-7x+26=x^{2}-4$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-7x+26-x^{2}=-4$$

Scădeți 26 din ambele părți.

$$-7x-x^{2}=-4-26$$

Scădeți 26 din -4 pentru a obține -30.

$$-7x-x^{2}=-30$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-7x=-30$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-1}\right)x=-\frac{30}{-1}$$

Împărțiți -7 la -1.

$$x^{2}+7x=-\frac{30}{-1}$$

Împărțiți -30 la -1.

$$x^{2}+7x=30$$

Împărțiți 7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Adunați 30 cu \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Factor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Scădeți \frac{7}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-10$$