Rezolvați 3/x+5/x+2=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 5 } { x + 2 } = 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Combinați 3x cu x\times 5 pentru a obține 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Combinați 8x cu -4x pentru a obține 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$2x+3-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=3 b=-1$$

Rescrieți -x^{2}+2x+3 ca \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și -x-1=0.

$$x=3 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Combinați 3x cu x\times 5 pentru a obține 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Combinați 8x cu -4x pentru a obține 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+4x+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 4 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+8\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 16 cu 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-4±8}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±8}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 8.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Împărțiți 4 la -4.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±8}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din -4.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Împărțiți -12 la -4.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Combinați 3x cu x\times 5 pentru a obține 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Combinați 8x cu -4x pentru a obține 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Scădeți 6 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4x-2x^{2}=-6$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+4x=-6$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+4x}{-2}=-\frac{6}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{4}{-2}x=-\frac{6}{-2}$$

Împărțiți 4 la -2.

$$x^{2}-2x=-\frac{6}{-2}$$

Împărțiți -6 la -2.

$$x^{2}-2x=3$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Adunați 3 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-1$$