Rezolvați 3/x+3/x-5=3x-12/x-5

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 3 } { x - 5 } = \frac { 3 x - 12 } { x - 5 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-5\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 3.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Combinați 3x cu x\times 3 pentru a obține 6x.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu 3x-12.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Adăugați 12x la ambele părți.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Combinați 6x cu 12x pentru a obține 18x.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$6x-5-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+6x-5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=6 ab=-\left(-5\right)=5$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=5 b=1$$

Rescrieți -x^{2}+6x-5 ca \left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right)$$

Scoateți factorul comun -x din -x^{2}+5x.

$$-x\left(x-5\right)+x-5$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-5=0 și -x+1=0.

$$x=5 x=1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 5.

$$x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-5\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 3.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Combinați 3x cu x\times 3 pentru a obține 6x.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu 3x-12.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Adăugați 12x la ambele părți.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Combinați 6x cu 12x pentru a obține 18x.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+18x-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 18 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 18 la pătrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-3\right)\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+12\left(-15\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -15.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-180}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 324 cu -180.

$$x=\frac{-18±\sqrt{144}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-18±12}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-18±12}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±12}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -18 cu 12.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Împărțiți -6 la -6.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-18±12}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din -18.

$$x=-\frac{30}{-6}$$

Împărțiți -30 la -6.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=5$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 5.

$$x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,5, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-5\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-5.

$$\left(x-5\right)\times 3+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-5 cu 3.

$$3x-15+x\times 3=x\left(3x-12\right)$$

Combinați 3x cu x\times 3 pentru a obține 6x.

$$6x-15=x\left(3x-12\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu 3x-12.

$$6x-15=3x^{2}-12x$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$6x-15-3x^{2}=-12x$$

Adăugați 12x la ambele părți.

$$6x-15-3x^{2}+12x=0$$

Combinați 6x cu 12x pentru a obține 18x.

$$18x-15-3x^{2}=0$$

Adăugați 15 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$18x-3x^{2}=15$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+18x=15$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+18x}{-3}=\frac{15}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{18}{-3}x=\frac{15}{-3}$$

Împărțiți 18 la -3.

$$x^{2}-6x=\frac{15}{-3}$$

Împărțiți 15 la -3.

$$x^{2}-6x=-5$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Adunați -5 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Factorul x^{2}-6x+9. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=1$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 5.

$$x=1$$