Rezolvați 3/x+2/x-1=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 2 } { x - 1 } = 2$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Combinați 3x cu x\times 2 pentru a obține 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Combinați 5x cu 2x pentru a obține 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -2x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 6.

$$1,6 2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+6=7 2+3=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=6 b=1$$

Rescrieți -2x^{2}+7x-3 ca \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right)$$

Factor 2x în primul și -1 în al doilea grup.

$$2x\left(-x+3\right)-\left(-x+3\right)$$

Scoateți termenul comun -x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+3\right)\left(2x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+3=0 și 2x-1=0.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Combinați 3x cu x\times 2 pentru a obține 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Combinați 5x cu 2x pentru a obține 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 7 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 49 cu -24.

$$x=\frac{-7±\sqrt{25}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-7±5}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-7±5}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±5}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 5.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±5}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -7.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Împărțiți -12 la -4.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 0,1, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x-1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-1 cu 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Combinați 3x cu x\times 2 pentru a obține 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Adăugați 2x la ambele părți.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Combinați 5x cu 2x pentru a obține 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Adăugați 3 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$7x-2x^{2}=3$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+7x=3$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Împărțiți 7 la -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Împărțiți 3 la -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Împărțiți -\frac{7}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Adunați -\frac{3}{2} cu \frac{49}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Adunați \frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$