Rezolvați 3/x^2+2x-8-4/x^2+4x-12=x-4/x^2+10x+24

$$\frac { 3 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,-4,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+4 cu 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 4x+16, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Combinați 3x cu -4x pentru a obține -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Scădeți 16 din 18 pentru a obține 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x-4 și a combina termenii similari.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Adăugați 6x la ambele părți.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Combinați -x cu 6x pentru a obține 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Scădeți 8 din 2 pentru a obține -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=-\left(-6\right)=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 6.

$$1,6 2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+6=7 2+3=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=3 b=2$$

Rescrieți -x^{2}+5x-6 ca \left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Factor -x în primul și 2 în al doilea grup.

$$-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(-x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și -x+2=0.

$$x=3 x=2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,-4,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+4 cu 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 4x+16, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Combinați 3x cu -4x pentru a obține -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Scădeți 16 din 18 pentru a obține 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x-4 și a combina termenii similari.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Adăugați 6x la ambele părți.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Combinați -x cu 6x pentru a obține 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Scădeți 8 din 2 pentru a obține -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 5 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 25 cu -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-5±1}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±1}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Împărțiți -4 la -2.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±1}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Împărțiți -6 la -2.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=3$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -6,-4,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+6 cu 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+4 cu 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 4x+16, găsiți opusul fiecărui termen.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Combinați 3x cu -4x pentru a obține -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Scădeți 16 din 18 pentru a obține 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x-4 și a combina termenii similari.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Adăugați 6x la ambele părți.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Combinați -x cu 6x pentru a obține 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$5x-x^{2}=8-2$$

Scădeți 2 din 8 pentru a obține 6.

$$5x-x^{2}=6$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=6$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

Împărțiți 5 la -1.

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-1}$$

Împărțiți 6 la -1.

$$x^{2}-5x=-6$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Adunați -6 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=3$$