Rezolvați 240/x-240/x+20-1=0

$$\frac { 240 } { x } - \frac { 240 } { x + 20 } - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-80$$

$$x=60$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -20,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+20\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+20.

$$\left(x+20\right)\times 240-x\times 240+x\left(x+20\right)\left(-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+20 cu 240.

$$240x+4800-x\times 240+x\left(x+20\right)\left(-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+20.

$$240x+4800-x\times 240+\left(x^{2}+20x\right)\left(-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+20x cu -1.

$$240x+4800-x\times 240-x^{2}-20x=0$$

Combinați 240x cu -20x pentru a obține 220x.

$$220x+4800-x\times 240-x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 240 pentru a obține -240.

$$220x+4800-240x-x^{2}=0$$

Combinați 220x cu -240x pentru a obține -20x.

$$-20x+4800-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}-20x+4800=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+4800. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-20 ab=-4800=-4800$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4800.

$$1,-4800 2,-2400 3,-1600 4,-1200 5,-960 6,-800 8,-600 10,-480 12,-400 15,-320 16,-300 20,-240 24,-200 25,-192 30,-160 32,-150 40,-120 48,-100 50,-96 60,-80 64,-75$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-4800=-4799 2-2400=-2398 3-1600=-1597 4-1200=-1196 5-960=-955 6-800=-794 8-600=-592 10-480=-470 12-400=-388 15-320=-305 16-300=-284 20-240=-220 24-200=-176 25-192=-167 30-160=-130 32-150=-118 40-120=-80 48-100=-52 50-96=-46 60-80=-20 64-75=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -20.

$$a=60 b=-80$$

Rescrieți -x^{2}-20x+4800 ca \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Factor x în primul și 80 în al doilea grup.

$$x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Scoateți termenul comun -x+60 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+60\right)\left(x+80\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+60=0 și x+80=0.

$$x=60 x=-80$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -20,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+20\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+20.

$$\left(x+20\right)\times 240-x\times 240+x\left(x+20\right)\left(-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+20 cu 240.

$$240x+4800-x\times 240+x\left(x+20\right)\left(-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+20.

$$240x+4800-x\times 240+\left(x^{2}+20x\right)\left(-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+20x cu -1.

$$240x+4800-x\times 240-x^{2}-20x=0$$

Combinați 240x cu -20x pentru a obține 220x.

$$220x+4800-x\times 240-x^{2}=0$$

Înmulțiți -1 cu 240 pentru a obține -240.

$$220x+4800-240x-x^{2}=0$$

Combinați 220x cu -240x pentru a obține -20x.

$$-20x+4800-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-20x+4800=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -20 și c cu 4800 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4800}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\left(-1\right)\times 4800}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+4\times 4800}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 4800.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+19200}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 400 cu 19200.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{19600}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 19600.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±140}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -20 este 20.

$$x=\frac{20±140}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{20±140}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±140}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 20 cu 140.

$$x=\frac{160}{-2}$$

Împărțiți 160 la -2.

$$x=-80$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±140}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 140 din 20.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Împărțiți -120 la -2.

$$x=60$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-80 x=60$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -20,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+20\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+20.

$$\left(x+20\right)\times 240-x\times 240+x\left(x+20\right)\left(-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+20 cu 240.

$$240x+4800-x\times 240+x\left(x+20\right)\left(-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x cu x+20.

$$240x+4800-x\times 240+\left(x^{2}+20x\right)\left(-1\right)=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+20x cu -1.

$$240x+4800-x\times 240-x^{2}-20x=0$$

Combinați 240x cu -20x pentru a obține 220x.

$$220x+4800-x\times 240-x^{2}=0$$

Scădeți 4800 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$220x-x\times 240-x^{2}=-4800$$

Înmulțiți -1 cu 240 pentru a obține -240.

$$220x-240x-x^{2}=-4800$$

Combinați 220x cu -240x pentru a obține -20x.

$$-20x-x^{2}=-4800$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-20x=-4800$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-20x}{-1}=-\frac{4800}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{-1}\right)x=-\frac{4800}{-1}$$

Împărțiți -20 la -1.

$$x^{2}+20x=-\frac{4800}{-1}$$

Împărțiți -4800 la -1.

$$x^{2}+20x=4800$$

Împărțiți 20, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 10. Apoi, adunați pătratul lui 10 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+20x+10^{2}=4800+10^{2}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$x^{2}+20x+100=4800+100$$

Adunați 4800 cu 100.

$$x^{2}+20x+100=4900$$

Factor x^{2}+20x+100. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=4900$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{4900}$$

Simplificați.

$$x+10=70 x+10=-70$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$x=60 x=-80$$