Rezolvați 2x-5/x^2+3x+2+4/x^2-4=1/x-2

$$\frac { 2 x - 5 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = \frac { 1 } { x - 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2x-5 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combinați -9x cu 4x pentru a obține -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Adunați 10 și 4 pentru a obține 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combinați -5x cu -3x pentru a obține -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Scădeți 2 din 14 pentru a obține 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-8x+12 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-6 b=-2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2x-5 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combinați -9x cu 4x pentru a obține -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Adunați 10 și 4 pentru a obține 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combinați -5x cu -3x pentru a obține -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Scădeți 2 din 14 pentru a obține 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-6 b=-2$$

Rescrieți x^{2}-8x+12 ca \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Factor x în primul și -2 în al doilea grup.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2x-5 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combinați -9x cu 4x pentru a obține -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Adunați 10 și 4 pentru a obține 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combinați -5x cu -3x pentru a obține -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Scădeți 2 din ambele părți.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

Scădeți 2 din 14 pentru a obține 12.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -8 și c cu 12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Adunați 64 cu -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±4}{2} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Împărțiți 12 la 2.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±4}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$x=2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=6$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 2x-5 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 4.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Combinați -9x cu 4x pentru a obține -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Adunați 10 și 4 pentru a obține 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu x+2 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

Combinați 2x^{2} cu -x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

Combinați -5x cu -3x pentru a obține -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

Scădeți 14 din ambele părți.

$$x^{2}-8x=2-14$$

Scădeți 14 din 2 pentru a obține -12.

$$x^{2}-8x=-12$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Adunați -12 cu 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Factor x^{2}-8x+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu 2.

$$x=6$$