Rezolvați 2x/x-4+3/x-3+4=30+5x^2-36x/x^2-7x+12

$$\frac { 2 x } { x - 4 } + \frac { 3 } { x - 3 } + 4 = \frac { 30 + 5 x ^ { 2 } - 36 x } { x ^ { 2 } - 7 x + 12 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 3,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-4\right)\left(x-3\right), cel mai mic multiplu comun al x-4,x-3,x^{2}-7x+12.

$$\left(x-3\right)\times 2x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 2.

$$\left(2x-6\right)x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-6 cu x.

$$2x^{2}-6x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 3.

$$2x^{2}-6x+3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Combinați -6x cu 3x pentru a obține -3x.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x^{2}-7x+12\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-7x+12 cu 4.

$$2x^{2}-3x-12+4x^{2}-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Combinați 2x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}-3x-12-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Combinați -3x cu -28x pentru a obține -31x.

$$6x^{2}-31x-12+48=30+5x^{2}-36x$$

Adunați -12 și 48 pentru a obține 36.

$$6x^{2}-31x+36=30+5x^{2}-36x$$

Scădeți 30 din ambele părți.

$$6x^{2}-31x+36-30=5x^{2}-36x$$

Scădeți 30 din 36 pentru a obține 6.

$$6x^{2}-31x+6=5x^{2}-36x$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$6x^{2}-31x+6-5x^{2}=-36x$$

Combinați 6x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-31x+6=-36x$$

Adăugați 36x la ambele părți.

$$x^{2}-31x+6+36x=0$$

Combinați -31x cu 36x pentru a obține 5x.

$$x^{2}+5x+6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+5x+6 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 6.

$$1,6 2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+6=7 2+3=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=2 b=3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+2=0 și x+3=0.

$$x=-2 x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 3,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-4\right)\left(x-3\right), cel mai mic multiplu comun al x-4,x-3,x^{2}-7x+12.

$$\left(x-3\right)\times 2x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 2.

$$\left(2x-6\right)x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-6 cu x.

$$2x^{2}-6x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 3.

$$2x^{2}-6x+3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Combinați -6x cu 3x pentru a obține -3x.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x^{2}-7x+12\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-7x+12 cu 4.

$$2x^{2}-3x-12+4x^{2}-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Combinați 2x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}-3x-12-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Combinați -3x cu -28x pentru a obține -31x.

$$6x^{2}-31x-12+48=30+5x^{2}-36x$$

Adunați -12 și 48 pentru a obține 36.

$$6x^{2}-31x+36=30+5x^{2}-36x$$

Scădeți 30 din ambele părți.

$$6x^{2}-31x+36-30=5x^{2}-36x$$

Scădeți 30 din 36 pentru a obține 6.

$$6x^{2}-31x+6=5x^{2}-36x$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$6x^{2}-31x+6-5x^{2}=-36x$$

Combinați 6x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-31x+6=-36x$$

Adăugați 36x la ambele părți.

$$x^{2}-31x+6+36x=0$$

Combinați -31x cu 36x pentru a obține 5x.

$$x^{2}+5x+6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=1\times 6=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 6.

$$1,6 2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+6=7 2+3=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=2 b=3$$

Rescrieți x^{2}+5x+6 ca \left(x^{2}+2x\right)+\left(3x+6\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(3x+6\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)$$

Scoateți termenul comun x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+2\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+2=0 și x+3=0.

$$x=-2 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 3,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-4\right)\left(x-3\right), cel mai mic multiplu comun al x-4,x-3,x^{2}-7x+12.

$$\left(x-3\right)\times 2x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 2.

$$\left(2x-6\right)x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-6 cu x.

$$2x^{2}-6x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 3.

$$2x^{2}-6x+3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Combinați -6x cu 3x pentru a obține -3x.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x^{2}-7x+12\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-7x+12 cu 4.

$$2x^{2}-3x-12+4x^{2}-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Combinați 2x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}-3x-12-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Combinați -3x cu -28x pentru a obține -31x.

$$6x^{2}-31x-12+48=30+5x^{2}-36x$$

Adunați -12 și 48 pentru a obține 36.

$$6x^{2}-31x+36=30+5x^{2}-36x$$

Scădeți 30 din ambele părți.

$$6x^{2}-31x+36-30=5x^{2}-36x$$

Scădeți 30 din 36 pentru a obține 6.

$$6x^{2}-31x+6=5x^{2}-36x$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$6x^{2}-31x+6-5x^{2}=-36x$$

Combinați 6x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-31x+6=-36x$$

Adăugați 36x la ambele părți.

$$x^{2}-31x+6+36x=0$$

Combinați -31x cu 36x pentru a obține 5x.

$$x^{2}+5x+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 5 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2}$$

Adunați 25 cu -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-5±1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±1}{2} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 1.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Împărțiți -4 la 2.

$$x=-2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±1}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -5.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-2 x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile 3,4, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-4\right)\left(x-3\right), cel mai mic multiplu comun al x-4,x-3,x^{2}-7x+12.

$$\left(x-3\right)\times 2x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-3 cu 2.

$$\left(2x-6\right)x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x-6 cu x.

$$2x^{2}-6x+\left(x-4\right)\times 3+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu 3.

$$2x^{2}-6x+3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Combinați -6x cu 3x pentru a obține -3x.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x-4\right)\left(x-3\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x-3 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}-3x-12+\left(x^{2}-7x+12\right)\times 4=30+5x^{2}-36x$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-7x+12 cu 4.

$$2x^{2}-3x-12+4x^{2}-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Combinați 2x^{2} cu 4x^{2} pentru a obține 6x^{2}.

$$6x^{2}-3x-12-28x+48=30+5x^{2}-36x$$

Combinați -3x cu -28x pentru a obține -31x.

$$6x^{2}-31x-12+48=30+5x^{2}-36x$$

Adunați -12 și 48 pentru a obține 36.

$$6x^{2}-31x+36=30+5x^{2}-36x$$

Scădeți 5x^{2} din ambele părți.

$$6x^{2}-31x+36-5x^{2}=30-36x$$

Combinați 6x^{2} cu -5x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}-31x+36=30-36x$$

Adăugați 36x la ambele părți.

$$x^{2}-31x+36+36x=30$$

Combinați -31x cu 36x pentru a obține 5x.

$$x^{2}+5x+36=30$$

Scădeți 36 din ambele părți.

$$x^{2}+5x=30-36$$

Scădeți 36 din 30 pentru a obține -6.

$$x^{2}+5x=-6$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Adunați -6 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-2 x=-3$$