Rezolvați 2x/x-2=5+13x^2/x-2

$$\frac { 2 x } { x - 2 } = 5 + \frac { 13 x ^ { 2 } } { x - 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=\frac{10}{13}\approx 0,769230769$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu 2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 5.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Combinați 2x cu -5x pentru a obține -3x.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Scădeți -10 din ambele părți.

$$-3x-\left(-10\right)=13x^{2}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$-3x+10=13x^{2}$$

Scădeți 13x^{2} din ambele părți.

$$-3x+10-13x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-13x^{2}-3x+10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -13x^{2}+ax+bx+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=-13\times 10=-130$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -130.

$$1,-130 2,-65 5,-26 10,-13$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-130=-129 2-65=-63 5-26=-21 10-13=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=10 b=-13$$

Rescrieți -13x^{2}-3x+10 ca \left(-13x^{2}+10x\right)+\left(-13x+10\right).

$$\left(-13x^{2}+10x\right)+\left(-13x+10\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(13x-10\right)-\left(13x-10\right)$$

Scoateți termenul comun 13x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(13x-10\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 13x-10=0 și -x-1=0.

$$x=\frac{10}{13} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 5.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Combinați 2x cu -5x pentru a obține -3x.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Scădeți -10 din ambele părți.

$$-3x-\left(-10\right)=13x^{2}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$-3x+10=13x^{2}$$

Scădeți 13x^{2} din ambele părți.

$$-3x+10-13x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-13x^{2}-3x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -13, b cu -3 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-13\right)\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-13\right)\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -13.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+52\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Înmulțiți 52 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+520}}{2\left(-13\right)}$$

Adunați 9 cu 520.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{529}}{2\left(-13\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 529.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±23}{2\left(-13\right)}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±23}{2\left(-13\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -13.

$$x=\frac{3±23}{-26}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±23}{-26} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 23.

$$x=\frac{26}{-26}$$

Împărțiți 26 la -26.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±23}{-26} atunci când ± este minus. Scădeți 23 din 3.

$$x=-\frac{20}{-26}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{-26} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{10}{13}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=\frac{10}{13}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu 5.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Scădeți 5x din ambele părți.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Combinați 2x cu -5x pentru a obține -3x.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Scădeți 13x^{2} din ambele părți.

$$-3x-13x^{2}=-10$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-13x^{2}-3x=-10$$

Se împart ambele părți la -13.

$$\frac{-13x^{2}-3x}{-13}=-\frac{10}{-13}$$

Împărțirea la -13 anulează înmulțirea cu -13.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-13}\right)x=-\frac{10}{-13}$$

Împărțiți -3 la -13.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x=-\frac{10}{-13}$$

Împărțiți -10 la -13.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x=\frac{10}{13}$$

Împărțiți \frac{3}{13}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{26}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{26} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\left(\frac{3}{26}\right)^{2}=\frac{10}{13}+\left(\frac{3}{26}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{26} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}=\frac{10}{13}+\frac{9}{676}$$

Adunați \frac{10}{13} cu \frac{9}{676} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}=\frac{529}{676}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{26}\right)^{2}=\frac{529}{676}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{676}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{26}=\frac{23}{26} x+\frac{3}{26}=-\frac{23}{26}$$

Scădeți \frac{3}{26} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{10}{13} x=-1$$