Rezolvați 2x^2-9x-5/x+3=0

$$\frac { 2 x ^ { 2 } - 9 x - 5 } { x + 3 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu -3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x+3.

$$2x^{2}-9x-5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-10 b=1$$

Rescrieți 2x^{2}-9x-5 ca \left(2x^{2}-10x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(x-5\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din 2x^{2}-10x.

$$2x\left(x-5\right)+x-5$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și 2x+1=0.

$$x=5 x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu -3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x+3.

$$2x^{2}-9x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu -9 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+40}}{2\times 2}$$

Adunați 81 cu 40.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±11}{2\times 2}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±11}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{9±11}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±11}{4} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 11.

$$x=\frac{20}{4}$$

Împărțiți 20 la 4.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±11}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 9.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu -3, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x+3.

$$2x^{2}-9x-5=0$$

Adăugați 5 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$2x^{2}-9x=5$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{5}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{5}{2}$$

Împărțiți -\frac{9}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Adunați \frac{5}{2} cu \frac{81}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{121}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Adunați \frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-\frac{1}{2}$$