Rezolvați 2x+1/x=4x

$$\frac { 2 x + 1 } { x } = 4 x$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x.

$$2x+1=4xx$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}+2x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu 2 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+16}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 4 cu 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{20}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 20.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Împărțiți -2+2\sqrt{5} la -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{5}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{5} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-2}{-8}$$

Împărțiți -2-2\sqrt{5} la -8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4} x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu 0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x.

$$2x+1=4xx$$

Înmulțiți x cu x pentru a obține x^{2}.

$$2x+1=4x^{2}$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$2x+1-4x^{2}=0$$

Scădeți 1 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$2x-4x^{2}=-1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+2x=-1$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}+2x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\frac{2}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-4}$$

Împărțiți -1 la -4.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{1}{4} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$