Rezolvați 2r/r^2-1-1/r+1

$$\frac { 2 r } { r ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { r + 1 }$$

Evaluați

$$\frac{1}{r-1}$$

Pașii soluției scurte

Descompuneți în factori r^{2}-1.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1}$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(r-1\right)\left(r+1\right) și r+1 este \left(r-1\right)\left(r+1\right). Înmulțiți \frac{1}{r+1} cu \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Deoarece \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} și \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Faceți înmulțiri în 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Combinați termeni similari în 2r-r+1.

$$\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Reduceți prin eliminare r+1 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{1}{r-1}$$

Calculați derivata în funcție de r

$$-\frac{1}{\left(r-1\right)^{2}}$$

Pași folosind regula lanțului de derivare

Descompuneți în factori r^{2}-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1})$$

Pentru a adăuga sau a scădea expresii, extindeți-le pentru a face identici numitorii lor. Cel mai mic multiplu comun al lui \left(r-1\right)\left(r+1\right) și r+1 este \left(r-1\right)\left(r+1\right). Înmulțiți \frac{1}{r+1} cu \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Deoarece \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} și \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} au același numitor comun, scădeți-le scăzând numărătorii lor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Faceți înmulțiri în 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Combinați termeni similari în 2r-r+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Reduceți prin eliminare r+1 atât în numărător, cât și în numitor.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{1}{r-1})$$

Dacă F este compusa a două funcții derivabile f\left(u\right) și u=g\left(x\right), mai exact, dacă F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), atunci derivata lui F este derivata lui f în raport cu u înmulțit cu derivata lui g în raport cu x, mai exact, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{1}-1)$$

Derivata unui polinom este suma derivatelor termenilor săi. Derivata unui termen constant este 0. Derivata lui ax^{n} este nax^{n-1}.

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-2}r^{1-1}$$

Simplificați.

$$-r^{0}\left(r^{1}-1\right)^{-2}$$

Pentru orice termen t, t^{1}=t.

$$-r^{0}\left(r-1\right)^{-2}$$

Pentru orice termen t cu excepția lui 0, t^{0}=1.

$$-\left(r-1\right)^{-2}$$