Rezolvați 2/x+2/x+1=3

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Combinați 2x cu x\times 2 pentru a obține 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x cu x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Combinați 4x cu -3x pentru a obține x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=3 b=-2$$

Rescrieți -3x^{2}+x+2 ca \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Combinați 2x cu x\times 2 pentru a obține 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x cu x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Combinați 4x cu -3x pentru a obține x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 1 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 1 cu 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±5}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{4}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±5}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Împărțiți -6 la -6.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu x\left(x+1\right), cel mai mic multiplu comun al x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+1 cu 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Combinați 2x cu x\times 2 pentru a obține 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 3x cu x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Combinați 4x cu -3x pentru a obține x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Scădeți 2 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$x-3x^{2}=-2$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Împărțiți 1 la -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Împărțiți -2 la -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Împărțiți -\frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați \frac{2}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Adunați \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$