Rezolvați 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+3x+2 cu 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combinați 6x cu -3x pentru a obține 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Adunați 4 și 2 pentru a obține 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-1 cu 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combinați 3x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Adunați 6 și 4 pentru a obține 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -10 de produs.

$$-1,10 -2,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=5 b=-2$$

Rescrieți -x^{2}+3x+10 ca \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Scoateți scoateți factorul -x din primul și -2 din cel de-al doilea grup.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-5=0 și -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -2.

$$x=5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+3x+2 cu 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combinați 6x cu -3x pentru a obține 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Adunați 4 și 2 pentru a obține 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-1 cu 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combinați 3x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

Adunați 6 și 4 pentru a obține 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 3 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 9 cu 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±7}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 7.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Împărțiți 4 la -2.

$$x=-2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±7}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -3.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Împărțiți -10 la -2.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-2 x=5$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -2.

$$x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Variabila x nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -2,-1,1,2, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), cel mai mic multiplu comun al x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x+2 cu x+1 și a combina termenii similari.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}+3x+2 cu 2.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-2 cu x-1 și a combina termenii similari.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combinați 2x^{2} cu x^{2} pentru a obține 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Combinați 6x cu -3x pentru a obține 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Adunați 4 și 2 pentru a obține 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x^{2}-1 cu 4.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

Combinați 3x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

Scădeți 6 din ambele părți.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

Scădeți 6 din -4 pentru a obține -10.

$$-x^{2}+3x=-10$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Împărțiți 3 la -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

Împărțiți -10 la -1.

$$x^{2}-3x=10$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Adunați 10 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Factorul x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-2$$

Variabila x nu poate să fie egală cu -2.

$$x=5$$